Porque usamos "x" como símbolo para incógnita na Matemática

Há séculos o x tem sido o símbolo preferido para representar incógnitas nas equações matemáticas. Mas quem começou com isso?

A álgebra nasceu no Oriente Médio durante a era de ouro da civilização islâmica medieval (entre 750 e 1258 d.C.) e sua forma original pode ser vista no trabalho de Muhammad Al-Khwarizmi e seu livro do século IX, Kitab al-jabr wal-muqabala (al-jabr, mais tarde, se transformou em “álgebra” no ocidente). Nessa época, as leis e cultura muçulmanas se expandiram até a Península Ibérica, onde os mouros incentivavam o estudo de ciências e matemática.

Ok, mas o que isso tem a ver com a letra “x” na matemática? Em uma palestra recente no TED, o diretor da The Radius Foundation, Terry Moore, postulou que o uso do “x” dessa forma começou com a incapacidade das escolas espanholas em traduzir certos sons arábicos, incluindo a letra “sheen” (ou “xiz”). De acordo com Moore, a palavra para “coisa desconhecida” em arábico é al-shalan e ela aparecia muitas vezes nos primeiros trabalhos em matemática. (Por exemplo, você poderia ver “três coisas desconhecidas é igual a 15”, com a “coisa desconhecida” sendo, então, 5.)

Como o espanhol não tinha um som correspondente ao “sh”, eles foram com o som de “ck”, que em grego clássico é escrito com o símbolo chi, “X”. Moore teoriza, como muitos antes dele, que quando isso foi traduzido ao latim, bem depois, o chi (“X”) foi substituído pelo “x” latino, mais comum. Isso é parecido com como “Xmas” no inglês, que significa “Christmas”, e veio da prática comum de escolas religiosas em usar a letra chi (“X”) grega como abreviação para “Christ”.

O principal problema com a explicação de Moore é que não existe evidência documental direta que a apoie. Especulativamente, as pessoas que traduziam os trabalhos não ligavam muito para fonética, mas mais para o significado das palavras. Então se eles tivessem um “sh” ou não, um tradutor da época encararia isso como irrelevante. Apesar da falta de evidências e das falhas no argumento, essa segue como uma teoria de origem bastante popular, mesmo na academia. (Faça uma pesquisa rápida no Google e você encontrará um punhado de doutores em matemática embasando essa teoria.)

A edição 1909-1926 do Dicionário Webster, entre outros, reforça uma teoria similar, embora ateste que a palavra arábica para a “coisa” singular, “shei”, foi traduzida para o grego como ”xei” e, depois, abreviada para “x”. O Dr. Ali Khounsary nota, ainda, que a palavra grega para desconhecido, xenos, também começa com x, e a convenção pode ter sido simplesmente fruto da abreviação. Aqui, novamente, há uma falta de qualquer evidência documental para embasar tais teorias.

Tratando-se de teoria documentada, voltamo-nos ao grande filósofo e matemático René Descartes (1596-1650). É bem possível que Descartes não tenha tido a ideia da prática de usar o “x” para o desconhecido, talvez a tenha tomado emprestada de alguém, mas considerando as evidências documentais que sobreviveram até os dias de hoje, ele parece ser o criador da prática, como informa o Dicionário Oxford da língua inglesa e o trabalho fenomenal de Florian Cajori, Uma História das Notações Matemáticas (1929). No mínimo, Descartes ajudou a popularizar o uso do “x” na matemática.

Em seu maior trabalho, La Géométrie (1637), Descartes solidificou o movimento da notação simbólica instituindo a convenção de uso de letras minúsculas do começo do alfabeto para quantias conhecidas (a, b, c) e as da outra ponta do alfabeto para as desconhecidas (z, y, x).

Por quê? E por que o “x” tem mais peso que o “y” e o “z”? Ninguém sabe. Especula-se que a dominação do x ser usado mais do que o y ou o z para quantias desconhecidas nesse trabalho tenha a ver com a tipografia; uma das histórias diz que foi a gráfica/editora que sugeriu a Descartes o “x” como principal letra para incógnitas em La Géométrie porque essa era a letra menos usada e, portanto, a que tinha mais blocos de letras disponíveis para serem usados. Verdade ou não, Descartes usava o x desde 1629, no mínimo, em vários manuscritos, bem antes de La Géométrie. E, fato, parece que ele não tinha regras muito rígidas quanto ao uso de x, y e z para indicar incógnitas. Em alguns manuscritos da época, ele usou essas três letras para representar quantias conhecidas, aumentando ainda mais as dúvidas sobre as teorias listadas acima.

No fim, ao que tudo indica, Descartes apenas escolheu arbitrariamente as letras para representar diferentes coisas em seus trabalhos de acordo com a conveniência e calhou de em seu trabalho mais importante, La Géométrie, ele ter decidido especificar nomenclaturas, talvez, por mero capricho.

Qualquer que seja o caso, como nas notações para potências (x3) de Descartes, depois da publicação de La Géométrie, o uso do x como uma incógnita principal (bem como a tradição mais geral de a, b e c para quantias conhecidas, x, y e z para desconhecidas) começou a pegar gradualmente. E o resto, como dizem, é história da matemática.

Bônus:
O sinal de igual (“=”) foi inventado em 1557 pelo matemático galês Robert Recorde, que estava cansado de escrever “é igual a” em suas equações. Ele escolheu duas linhas paralelas porque “nenhuma outra dupla poderia ser mais idêntica.”
Outros símbolos primitivos usados para representar incógnitas na matemática antes do trabalho de referência de Descartes incluem o Trattato di praticha d’arismetrica de 1463, escrito por Benedetto de Florença, onde ele usou a letra grega rho (); a Arithmetic integra de 1544, escrito por Michael Stifel, onde ele usou q (de “quantita”), bem como A, B, C, D e F; e o sistema de Francois Vieta no final do século onde ele usava vogais para incógnitas e consoantes para constantes, entre outras.
No inglês moderno, o x é a terceira letra menos usada, ocorrendo apenas em 0,15% de todas as palavras. A letra menos usada é o z. (Imagine no português!)
Os radicais de “algoritmo” e “algarismo” vêm de nada menos que o nome de al-Khwarizmi’. Se você distorcer levemente o nome quando o pronunciar, verá a ligação.
O volume matemático de uma pizza é pizza. Assim: se z = raio da pizza e a = a altura, então Π * raio2* altura = Pi * z * z * a = Pizza.
Como mencionado, La Géométrie foi um trabalho divisor de águas. Nele, Descartes introduziu a ideia que no fim virou as coordenadas cartesianas; isso inclui as ideias de duas linhas perpendiculares chamadas eixos, chamando a horizontal de x e a vertical, y, e também designando o ponto de interseção como a origem. A Descartes também é creditada uma das frases mais famosas do mundo ocidental: “Cogito ergo sum” (“Penso, logo existo.”)
Dito isso, embora Descartes seja famoso pela noção de “penso, logo existo”, ele não foi o primeiro a expressar tal ideia. Por exemplo, Aristóteles disse algo parecido em Nicomachean Ethics, “Mas se a vida em si mesma é boa e agradável (…)e se o homem que vê percebe que vê, e o que ouve percebe que ouve, e o que anda percebe que anda, e igualmente em todas as outras atividades há também alguma coisa que per­cebe que estamos em atividade, de modo que, se percebemos, percebemos que percebemos, e, se pensamos, percebemos que pensamos; e se perceber que percebemos ou pensamos é perceber que existimos…” Claro, “Eu penso, logo eu sou” é bem mais sucinto.
Muhammad Al-Khwarizmi foi um dos primeiros diretores da Casa do Saber de Bagdá. Tendo supervisionado as traduções de importantes trabalhos matemáticos e astronômicos indianos e gregos, Al-Khwarizmi se tornou um defensor da adoção do sistema numérico indiano (1 a 9, mais 0) e o pai da álgebra. Com a publicação do Livro Compêndio sobre Cálculo por Restauração e Balanceamento, Al-Khwarizmi introduziu o uso da análise abstrata na solução de problemas (embora com palavras, em vez de notações simbólicas). Ele também trouxe o método algébrico da redução (reescrevendo a expressão de formas cada vez mais simples, porém equivalentes), bem como o do balanceamento (fazer as mesmas coisas em cada lado da equação – novamente, tornando-a mais simples).

Por: Melissa - Todayifoundout.com

Férias

Para todos os alunos e seus familiares, um Feliz Natal e um Próspero Ano Novo.

Boas Férias,

Professor Alexandre.

Vestibulinho ETEC

De 02/10 até às 15h do dia 07/11/14  ==> Inscrições do Processo Seletivo;
01/12/14                             ==> Divulgação dos locais de Exame;
07/12/14 (domingo), às 13h30min      ==> Exame.

É necessário ter o CPF para efetuar a inscrição.

Desenho no Plano Cartesiano

Caros Alunos,

Segue alguns desenhos no plano cartesiano.Plote os pontos e descobrirá o desenho.

Click no link https://docs.google.com/file/d/0B7DeV8K6VL-uVjFnTjlwYVlKTzQ/edit?pli=1 para baixar e depois imprima as folhas com o plano cartesiano e os pontos.

Papel Milimetrado

Caros Alunos,

Segue abaixo o link do papel milimetrado para download.
Papel Milimetrado .

Grato,

Professor Alexandre.

Atividade para Entregar 8.º A e 8.º C

Prezados Alunos,

Segue o link das atividades entregue na quarta-feira: Atividades.


Atenciosamente,

Professor Alexandre.

Para 8.º A e C

Caros alunos,

Assitam o vídeo Um Ponto de Vista. Trata-se do Sistema Cartesiano.

Grato,

Professor Alexandre.

Equações Biquadradas

Observe a tabela abaixo:

Atenciosamente,

Professor Alexandre.

Problemas de Equações Fracionárias

Está disponível um novo link referente a problemas de equações fracionárias no menu lateral direito "Conteúdos do 9.º ano ou 8.º série".

Grato,
Prof.Alexandre.

Exercícios de Fixação

Caros alunos,

Coloquei um novo link dos exercícios de fixação,para quem não estava conseguindo baixar.

Grato,

Professor Alexandre.

Alunos da 8.º D

Fazer os exercícios de equação do 2.º grau que consta no menu lateral direito do blog. Os exercícios devem ser feitos em uma folha a parte para entregar na próxima terça-feira (05/08).

Grato,

Prof. Alexandre.

Equações Fracionárias

Já está disponível no link conteúdos alguns exemplos de equações fracionárias.

Bom estudo!

Alunos da 8.º B

Fazer os exercícios da pág. 57 do número 21 ao 27.
Na próxima aula vistarei os cadernos.

Obrigado,

Prof. Alexandre.

Lembre-se sem esforço não há aprendizado.

Alunos da 8.º A e 8.º C

Fazer os exercícios da pág.65 do livro.
Do exercício 39 ao 47.

Na próxima aula irei vistar os cadernos e corrigir na lousa.


Obrigado,

Professor Alexandre.

A História de Bhaskara

Bhaskara viveu de 1114 a 1185 aproximadamente, na India.

Nascido numa tradicional família de astrólogos indianos, seguiu a tradição profissional da família, porém com uma orientação científica, dedicando-se mais à parte matemática e astronômica ( tais como o cálculo do dia e hora da ocorrência de eclipses ou das posições e conjunções dos planetas ) que dá sustentação à Astrologia.
Seus méritos foram logo reconhecidos e muito cedo atingiu o posto de diretor do Observatório de Ujjain, o maior centro de pesquisas matemáticas e astronômicas da India, na época.
Seu livro mais famoso é o Lilavati, um livro bem elementar e dedicado a problemas simples de Aritmética, Geometria Plana (medidas e trigonometria elementar ) e Combinatória. A palavra Lilavati é um nome próprio de mulher (a tradução é Graciosa), e a razão de ter dado esse título a seu livro é porque, provavelmente, teria desejado fazer um trocadilho comparando a elegância de uma mulher da nobreza com a elegância dos métodos da Aritmética. Numa tradução turca desse livro, 400 anos depois, foi inventada a história de que o livro seria uma homenagem à filha que não pode se casar. Justamente essa invenção é que tornou-o famoso entre as pessoas de pouco conhecimento de Matemática e de História da Matemática. Parece, também, que os professores estão muito dispostos a aceitarem estórias românticas em uma área tão abstrata e difícil como a Matemática; isso parece humanizá-la mais.

Ele escreveu dois livros matematicamente importantes e devido a isso tornou-se o matemático mais famoso de sua época. Esses livros são:

Equações INDETERMINADAS ou diofantinas:
chamamos assim às equações (polinomiais e de coeficientes inteiros) com infinitas soluções inteiras, como é o caso de:

• y - x = 1 que aceita todos os x = a e y = a + 1 como soluções , qualquer que seja o valor de a.
• a famosa equação de Pell x² = N y² + 1
  Bhaskara foi o primeiro a ter sucesso na resolução dessa equação, para isso introduzindo o método do chakravala (ou pulverizador).

Mas, e a fórmula é de Bhaskara ?

• EXEMPLO:
  para resolver as equações quadráticas da forma ax² + bx = c, os indianos usavam a seguinte regra:
  "multiplique ambos os membros da equação pelo número que vale quatro vezes o coeficiente do quadrado e some a eles um número igual ao quadrado do coeficiente original da incógnita. A solução desejada é a raiz quadrada disso."

É também muito importante observar que a falta de uma notação algébrica, bem como o uso de métodos geométricos para deduzir as regras, faziam os matemáticos da Era das Regras terem de usar varias regras para resolver equações do segundo grau. Por exemplo, precisavam de regras diferentes para resolver x² = px + q e x² + px = q. Foi só na Era das Fórmulas que iniciaram as tentativas de dar um procedimento único para resolver todas as equações de um grau dado.
Bhaskara conhecia a regra acima, porém, a regra não foi descoberta por ele. A regra já era do conhecimento de, no mínimo, o matemático Sridara, que viveu há mais de 100 anos antes de Bhaskara.

Resumindo o envolvimento de Bhaskara com equações do segundo grau

• Quanto a equações DETERMINADAS do segundo grau:
  No Lilavati, Bhaskara não trata de equações quadráticas determinadas e o que ele faz sobre isso no Bijaganita é mera cópia do que já tinham escrito outros matemáticos.
• Quanto a equações INDETERMINADAS do segundo grau:
  Aí ele realmente fez grandes contribuições e essas estão expostas no Bijaganita. Pode-se dizer que essas contribuições, principalmente a invenção do método iterativo do chakravala e sua modificação do clássico método kuttaka correspondem ao ápice da matemática indiana clássica, podendo-se acrescentar que é somente com Euler e Lagrange que voltaremos a encontrar desenvoltura técnica e fertilidade de ideias de porte comparáveis.

Relações de Girard ( Soma e Produto)

Relação de Girard (Soma e Produto)

Exercícios de Fixação

Segue uma lista de exercícios referente a equação do 2.º grau.

Peço que faça os exercícios e as dúvidas serão explicadas na aula.

A lista está disponível no menu lateral do blog.

Lilavati (Filha de Bhaskara)

O mais importante matemático hindu do século XII foi Bhaskara. Sua obra mais conhecida chama-se Lilavati que quer dizer graciosa.

Lilavati? Mas que título estranho...

Lilavati era o nome da filha de Bhaskara. Mas por que um matemático iria colocar na sua obra mais importante o nome de sua filha? Eu vou lhes contar....


Bhaskara Akaria era fanático por astrologia. Acreditava plenamente nas predições astrológicas. Os astrólogos previram que lilavati só poderia se casar em determinada hora de determinado dia. O dia chegou e a jovem, muito ansiosa, observava o relógio de água, colocando numa vasilha com água e que deveria marcar a hora mais propícia para o casamento.


O relógio de água tem no fundo um orifício por onde penetra a água. Quando todo o relógio estivesse submerso, chegaria o momento de se casar.


Acontece que, ao se debruçar sobre o relógio, Lilavati não se dera conta de que uma pequena pérola de seu vestido havia se desprendido e tapado o orifício do relógio, impedindo a entrada da água. Com isso o relógio não afundou.


Mais tarde, o incidente foi descoberto, mas a hora propícia para o casamento havia se passado, e o noivo, com medo de maus presságios, havia fugido. Lilavati não se casou. O pai, para consolá-la, prometeu perpetuar o seu nome, dando a um de seus livros o título: Lilavati.

Essa é a história do nome desse livro. Verdadeira ou não, foi assim que me contaram.

História das Equações do 2.º Grau

A resolução de problemas com equações do segundo grau aparece tanto nos babilónicos, como nos egípcios, como nos gregos. No entanto, um nome ficou eternamente ligado à resolução de equações do segundo grau - Muhammad Ibn Musa Al-Khwarizmi. Matemático que viveu no século IX, a sua importância é impressionante. Tendo trabalhado na biblioteca de Bagdá, denominada de Casa da Ciência ou Casa da Sabedoria, traduziu para o árabe obras matemáticas provenientes, sobretudo, da Grécia e da Índia. Um dos mais importantes, se não o mais, feitos de Al-Khwarizmi, foi a criação de uma obra sobre o sistema numérico hindu, conhecido atualmente por sistema de numeração decimal indo-arábico, obra essa imprescindível para a divulgação e adoção do nosso sistema numérico atual. Por outro lado, o seu nome é, provavelmente, a raiz da palavra logaritmo, algoritmo e algarismo. Também algumas das expressões por si utilizadas derivaram em palavras como álgebra, ou na utilização corrente da letra x para representar a incógnita de uma equação. Mas, esquecendo a enorme quantidade de fatos pelos quais devemos estar agradecidos a este personagem histórico, vamos nos concentrar, única e exclusivamente, no seu papel na história da resolução de equações do 2º grau.

Nota: o Corão prescreve uma certa lei para as heranças, em que a sua repartição é feita de acordo com o sexo e a idade dos herdeiros. Para tal repartição é necessário saber calcular quantidades e proporções que obrigam à resolução de equações do 2º grau. Este fato terá sido da maior importância como impulsionador de estudo de tais equações.

Relativamente às equações do 2º grau, devemos saber que, até Al-Khwarizmi, a resolução de equações do 2º grau era, quase exclusivamente, geométrica. Este matemático, desenvolveu formas algébricas de procura de soluções de equações, sendo estes procedimentos algébricos articulados com representações geométricas que justificavam raciocínios. O que nos proponho realizar, é compreender e utilizar os procedimentos de Al-Khwarizmi na resolução de equações do segundo grau, para os diferentes tipos destas. Quando referimos diferentes tipos de equação do 2º grau, não estamos a utilizar a tipologia atual. Vamos agora estudar cada tipo de equação do 2º grau estudada por Al-Khwarizmi e os seus procedimentos. Para o fazer torna-se, no entanto, necessário conhecer três termos inventados e utilizados por Al- hwarizmi:

    → AL-JABR: como para os árabes não existiam grandezas negativas e, portanto, não existiam números negativos, esta regra fazia-os desaparecer, restaurando-os. Assim, a aplicação desta regra consiste em adicionar a grandeza negativa em causa, mas com valor positivo, de forma a anular a grandeza negativa. Por exemplo, na equação:

6x² -17 -3x = 2x²- x -12

aplicando a regra, restauramos -3x e -17, obtendo a equação:

6x² = 2x²+2x+5

    → AL-MUQABALA: depois de aplicar a regra de al-jabr, aplica-se al-muqabala. O objetivo desta operação é obter uma equação com um termo de cada tipo. Para tal, confrontamos, contrapomos os dois termos da igualdade e reduzimos os termos semelhantes. Por exemplo, continuando com a equação anterior:

6x² = 2x²+2x+5

e aplicando a regra de al-muqabala, obtemos a equação:

4x²= 2x + 5

    → AL-RADD:  esta é a última regra a ser aplicada. O objetivo desta regra é transformar o coeficiente da incógnita com a mais alta potência em 1. Para tal, dividimos todos os termos da equação pelo coeficiente da mais alta potência. Por exemplo, continuando com a equação anterior:

4x²= 2x + 5

e aplicando a regra de al-radd, obtemos a equação:

x² = 1/2 x + 5/4 

Vamos agora resolver equações do tipo:

ax² = bx ;  ax² = c ;  ax² + bx = c ;   ax² + c = bx ;  ax² = bx+c         

        

Antes de experimentar cada tipo de equação, chamo a atenção para dois pormenores: vamos utilizar simbologia atual nestes processos de resolução. No entanto, lembra-te que Al-Khwarizmi não dispunha da simbologia atual. O problema e a sua resolução eram apresentados de forma descritiva. Por outro lado, os parâmetros de cada tipo de equação, nomeadamente, e, são sempre valores positivos. Por este fato, Al-Khwarizmi não considerava equações do tipo, pois tais equações não tinham "lógica", visto que três quantidades juntas não podem ser igual a zero.

Planejamento do 2.º semestre concluído

Fazer o download do planejamento do 2.º semestre.


Grato,


Professor Alexandre.

ETEC - Processo Seletivo Vestibulinho 2º SEM/14

De 10/04 até às 15h do dia 07/05/14

Atenção para os documentos necessários:
CPF do candidato (obrigatório)
Documento de identidade do candidato (RG, RNE, CNH ou documento expedido por Ordem ou Conselho Profissional) 

Para mais informações: http://www.vestibulinhoetec.com.br/home/  .

    

 

Resolvendo raízes através da fatoração

Apenas quando se tratar de raiz quadrada (índice 2) podemos deixar o espaço destinado ao índice em branco. O índice da fração indica quantas vezes é necessário multiplicar o número da potência por si mesmo até obter o valor do radicando. Por exemplo:

Exemplos de radiciações com índices 2, 3 e 4

Ao lidar com radicandos maiores, podem surgir dúvidas, pois o valor da raiz não aparecerá tão facilmente. Para situações como essas, devemos utilizar o processo de fatoração para obter a raiz. Vale lembrar que na fatoração há um número que deve ser dividido pelo menor número primo possível sucessivas vezes até que o quociente seja um. Vejamos como encontrar a raiz quadrada de 729:

Passo a passo da fatoração de 729

Nessa fatoração, começamos com o número do radicando, o 729, à esquerda. À direita, colocamos o menor primo que o dividirá. Novamente, à esquerda, coloca-se o número do quociente da divisão e repete-se esse processo até que o quociente seja 1. Como estamos procurando o resultado de uma raiz cujo índice é 2, agrupamos os números da direita em potências de expoente 2. Em seguida, colocamos essa multiplicação de potências dentro do radical, e aqueles números cujo o expoente é o mesmo do índice da raiz podem sair do radical sem o expoente. Vejamos outros exemplos:

Exemplos de radiciações através da fatoração

Radiciação

A radiciação é a operação inversa da potenciação. É muito utilizada na obtenção de solução de equações e na simplificação de expressões aritméticas e algébricas. Vamos definir essa operação e analisar suas propriedades.
Dados um número real não negativo x e um número natural n ≥ 1, chama-se raiz enésima de x o número real não negativo y tal que yⁿ = x. O símbolo utilizado para representar a raiz enésima de x é  e é chamado de radical. Nesse símbolo, x é o radicando e n é o índice.

Pela definição de radiciação, temos que:

Exemplo 1.

Propriedades da radiciação.

Exemplo 2. Simplifique a expressão

Exemplo 3. Racionalize as seguintes frações:
Racionalizar a fração é fazer com que no denominador não exista uma raiz enésima de um número.

Exemplo 4. Verifique as propriedades da radiciação.

Exemplo 5. Obtenha a forma mais reduzida possível da expressão:

Solução: Podemos reescrever cada uma das raízes utilizando as propriedades da radiciação.

Potenciação

Definição

Dado um certo número real qualquer, e um número n, inteiro e positivo, é definido iⁿ = potência de base (i) e com expoente (n) como sendo o produto de n fatores iguais a (i).

Exemplos de fixação da definição:

Potência = 2³
2 x  2 x  2 = ( 03 fatores) = 8

Potência = 3⁵
3 x 3 x 3 x 3 x 3  = (05 fatores) = 243

Notação:  2³ = 8
                        2 - BASE
                        3 - EXPOENTE
                        8 - POTÊNCIA

Notação: 3⁵ = 243
                       3 - BASE
                       5 - EXPOENTE
                       243 - POTÊNCIA

Alguns casos particulares:

1) Expoente igual a um (1)

(1/2)¹ = 1/2
5¹ = 5
³¹ = 3

2) Expoente igual à zero (0)

5⁰ = 1
6⁰ = 1
7⁰ = 1

Por convenção, resolveu-se que toda número elevado ao número zero, o resultado será igual a 1.

Mais Exemplos de fixação da definição:

1) 5³ = 5 x 5 x 5 = 125
2) 4⁰ = 1
3) 10⁰ = 1
4) 20¹ = 20

Propriedades de Potências

- Divisão de potência de mesma base

Na operação de divisão de potências de mesma base, é conservada a base comum e subtraem-se os expoentes conforme a ordem o qual eles aparecem no problema.

Exemplos de fixação:

1) 2⁴   ÷ 2 =  2^4-1  = 2³
2) 3⁵   ÷ 3² =  3^5-2  = 3²
3) 4⁶   ÷ 4³ =  4^6-3  = 4³

Temos então:  I^m ÷ Iⁿ = Im-n  , I#0

- Produto de potência de mesma base

Na operação de multiplicação entre potências de mesma base, é conservada a base comum e somam-se os expoentes em qualquer ordem dada no problema.

Exemplos de fixação:

1) 2⁴  x 2 =  2⁴⁺¹  = 2⁵
2) 3⁵   x 3² =  3⁵⁺²  = 3⁷
3) 4⁶   x 4³ =  4⁶⁺³  = 4⁹

Temos então:  I^m x Iⁿ = I^m+n

- Potência de Potência

Podemos elevar uma potência a outra potência. Para se efetuar este cálculo conserva-se a base comum e multiplicam-se os expoentes respectivos.

Exemplos de fixação:

1) (2³)⁴   =  2¹²  , pois = 2³  x 2³  x 2³ x 2³
2) (3²)³   =  3⁶  , pois = 3²  x 3²  x 3²
3) (4²)⁵   =  4¹⁰  , pois = 4²  x 4²  x 4² x 4² x 4²

Temos então:  (Iⁿ)^m   = I^nxm

- Potência de um produto

Para se efetuar esta operação de potência de um produto, podemos elevar cada fator a esta potência.

Exemplos de fixação:

1) (b⁵ya³ )⁴   =  b²⁰y⁴a¹²
2) (c²d²e⁵ )²   =  c⁴d⁴e¹⁰
3) (d³a⁴ )³   =  d⁹a¹²

Temos então:  (I.T)^m   = I ^m x T ^m

- Potência com expoente negativo

Toda e qualquer potência que tenha expoente negativo é equivalente a uma fração o qual o numerador é a unidade positiva e o denominador é a mesma potência, porém apresentando o expoente positivo.

Exemplos de fixação:

1) 2^-4   =  1/2⁴   = 1/16
2) 3^-3   =  1/3³   = 1/27
3) 4^-2   =  1/4²   = 1/16

Temos então:  (I)^-m   = 1/I ^m I#0

- Potência de fração

Para se efetuar o cálculo deste tipo de fração, eleva-se o numerador e denominador, respectivamente, a esta potência.

1) (a/b)⁴   =  a⁴/b⁴   = b#0
2) (a² /b⁴)³   =  a⁶/b¹²   = b#0
3) (a³ /b²)³   =  a⁹/b⁶   = b#0

Temos então:  (a/b)^m   = a^m/b^m   b #0

- Potência de 10

Todas as potências de 10 têm a função de facilitar o cálculo de várias expressões. Para isto guarde bem estas técnicas :

1) Para se elevar 10ⁿ (N>0), basta somente escrever a quantidade de zeros da potência a direito do número 1.

Exemplos de fixação:

a) 10⁴ = 10000
b) 10⁶ = 1000000
c) 10⁷ = 10000000

2) Para se elevar 10-n (N>0), basta somente escrever a quantidade de zeros da potência a esquerda do número 1, colocando a vírgula depois do primeiro zero que se escreveu.

Exemplos de fixação:

a) 10-4 = 0,0001
b) 10-6 = 0,000001
c) 10-7 = 0,0000001

3) Decompondo números em potências de 10

Exemplos de fixação (números maiores que 1):

a) 300 = 3.100 = 3.10²
b) 7000 = 7.1000 = 7.10³
c) 10.000 = 1.10000 = 1.10⁴

Exemplos de fixação (números menores que 1):

a) 0,004 = 4.0,001 = 4.10^-3
b) 0,0008 = 8.0,0001 = 8.10^-4
c) 0,00009 = 9.0,00001 = 9.10^-5

- Potência de números relativos

a) Caso o expoente seja par o resultado dará sempre positivo.

Veja: (+2)² = 4  / / (-2)⁴   = 16

b) Caso o expoente seja impar, o resultado trará sempre o sinal da base da potência.

Veja: (+3)³ = 27  / / (-3)³   = -27

Observação importante: -2²   # (-2) ²  , pois -2²   = -4 e (-2) ²  = 4. A diferença está que na primeira potência apenas o número 2 está elevado ao quadrado, enquanto que na segunda o sinal e o número 2 estão elevados ao quadrado, tornando o resultado, então, positivo, conforme colocado.

Torre de Hanói

História e Lenda

A torre de Hanói, também conhecida por torre de bramanismo ou quebra-cabeças do fim do mundo, foi inventada e vendida como brinquedo, no ano de 1883, pelo matemático francês Edouard Lucas. Segundo ele, o jogo que era popular na China e no Japão veio do Vietnã. O matemático foi inspirado por uma lenda Hindu, a qual falava de um templo em Benares, cidade Santa da Índia, onde existia uma torre sagrada do bramanismo, cuja função era melhorar a disciplina mental dos jovens monges. De acordo com a lenda, no grande templo de Benares, debaixo da cúpula que marca o centro do mundo, há uma placa de bronze sobre a qual estão fixadas três hastes de diamante. Em uma dessas hastes, o deus Brama, no momento da criação do mundo, colocou 64 discos de ouro puro, de forma que o disco maior ficasse sobre a placa de bronze e os outros decrescendo até chegar ao topo. A atribuição que os monges receberam foi de transferir a torre formada pelos discos, de uma haste para outra, usando a terceira como auxiliar com as restrições de movimentar um disco por vez e de nunca colocar um disco maior sobre um menor. Os monges deveriam trabalhar com eficiência noite e dia e, quando terminassem o trabalho, o templo seria transformado em pó e o mundo acabaria. O desaparecimento do mundo pode ser discutido mas não há dúvida quanto ao desmoronamento do templo.

 
  

A Torre de Hanói é um quebra-cabeça composto por uma base contendo três hastes. Em uma das haste são dispostos um número de discos uns sobre os outros, em ordem crescente de diâmetro como mostra a figura abaixo.

O problema consiste em passar todos os discos de uma haste para uma das outras, de maneira que um disco maior não fique sobre um menor em nenhuma situação. O objetivo do jogo é conseguir passar todos os discos de uma haste para outra com a menor quantidade de movimentos possíveis.

 

Veja a seguir como podemos encontrar uma fórmula geral para uma partida envolvendo n discos.

·         n = 1 (1 disco)

1 movimento é suficiente

 

 

·         n = 2 (2 discos)

3 movimentos são suficientes.

 

 

 

·         n= 3 (3 discos)

Ilustrado na imagem acima e são suficientes 7 movimentos.

              

 Veja a na tabela a seguir a generalização da resolução de uma torre de Hanói com n discos.

 

        

 

Portanto, a função que calcula o número de movimentos em função do número de discos é dada por:

.

 

 

Frases matemáticas

 "A Matemática apresenta invenções tão sutis que poderão servir não só para satisfazer os curiosos como, também para auxiliar as artes e poupar trabalho aos homens."(Descartes)

" A Matemática, quando a compreendemos bem, possui não somente a verdade, mas também a suprema beleza." (Bertrand Russel)

" Na maior parte das ciências, uma geração põe abaixo o que a outra construiu, e o que a outra estabeleceu a outra desfaz. Somente na Matemática é que cada geração constrói um novo andar sobre a antiga estrutura." (Hermann Hankel)

"A geometria é uma ciência de todas as espécies possíveis de espaços." (Kant)

"Os números governam o mundo." (Platão)

"A Geometria faz com que possamos adquirir o hábito de raciocinar, e esse hábito pode ser empregado, então, na pesquisa da verdade e ajudar-nos na vida." (Jacques Bernoulli)

"O livro da natureza foi escrito exclusivamente com figuras e símbolos matemáticos." (Galileu)

"A natureza está escrita em linguagem matemática."(Galileu)

"Para Tales... a questão primordial não era o que sabemos, mas como sabemos." (Aristóteles)

"O abandono da Matemática traz dano a todo o conhecimento, pois aquele que a ignora não pode conhecer as outras ciências ou as coisas do mundo." (Roger Bacon)

"As abelhas, em virtude de uma certa intuição geométrica, sabem que o hexágono é maior que o quadrado e o triângulo, e conterá mais mel com o mesmo gasto de material." (Papus de Alexandria)

"Para criar uma filosofia só é preciso renunciar à metafísica e tornar-se apenas um bom matemático." (Bertrand Russel)

"Aquele que deseja estudar ou exercer a Magia deve cultivar a Matemática." (Matila Ghyka)

"Matemática - a inabalável base das ciências e a abundante Fonte do Progresso nos negócios humanos." (Barrow)

"O orgulho no ofício obriga os matemáticos de uma geração a desembaraçar-se do trabalho inacabado dos seus antecessores." (E. T. Bell)