Lista de exercícios sobre Geometria Analítica e Soluções
Solução da Lista de Atividades
1) Determine o ponto médio entre A=(-4,1) e B=(-2,5).
Solução:
Na caixa de entrada, digite os pontos A e B.
No 2º ícone da barra de ferramentas, escolha "Ponto Médio ou Centro".
Na Janela de Visualização ou na Janela de Álgebra, clique no ponto A e, em seguida, no ponto B (pode ser em B e depois em A).
Verifique que aparecerá na Janela de Visualização e na Janela de Álgebra a seguinte solução: C=(-3,3).
2) Divida o segmento AB em 5 partes iguais, dados A=(-3,5) e B=(2,-5).
Solução:
Na caixa de entrada, digite os pontos A e B.
No 9º ícone da barra de ferramentas, escolha "Homotetia dados Centro e Razão".
Clique no ponto A e, em seguida, no ponto B (a ordem aqui é muito importante). Aparecerá uma caixa para digitar a fração em que os pontos que dividirão AB aparecerão a partir do último ponto clicado (neste caso foi B). Digite 1/5 e tecle <ENTER>.
Repita o procedimento para os próximos pontos. Assim:
- Clique no ponto A e, em seguida, no ponto B. Digite 2/5.
- Clique no ponto A e, em seguida, no ponto B. Digite 3/5.
- Clique no ponto A e, em seguida, no ponto B. Digite 4/5.
3) Encontre o ponto de interseção entre as retas (r) 3x-2y=7 e (s) 2x+5y=11.
Solução:
Na caixa de entrada, digite as equações da retas r e s (para nomear, digite r:3x-2y=7..., ou então, após digitar a equação na caixa de Entrada, clique com o botão direito e escolha "renomear" r, porque o default é a)
No 2º ícone da barra de ferramentas, escolha "Interseção de Dois Objetos". Clique na reta r e em seguida na reta s. Ou então, na Janela de Visualização, aponte o cursor para o ponto de interseção e verifique que as duas retas ficarão mais escuras. Clique neste ponto e ele aparecerá.
No 2º ícone da barra de ferramentas, escolha "Interseção de Dois Objetos". Clique na reta r e em seguida na reta s. Ou então, na Janela de Visualização, aponte o cursor para o ponto de interseção e verifique que as duas retas ficarão mais escuras. Clique neste ponto e ele aparecerá.
Verifique que aparecerá na Janela de Visualização e na Janela de Álgebra a seguinte solução: A=(3,1).
4) Determine a equação reduzida da reta (s) 2x+y=5.
Solução:
Na caixa de entrada, digite a equação da reta s.
Na janela de álgebra, clique com o botão direito em cima da equação da reta s e escolha "Equação y=ax+b".
Na janela de álgebra, clique com o botão direito em cima da equação da reta s e escolha "Equação y=ax+b".
Verifique que aparecerá na Janela de Álgebra a equação reduzida: s: y=-2x+5.
5) Determine a inclinação da reta formada pelos pontos A=(0,1) e B=(-3,4).
Solução:
5) Determine a inclinação da reta formada pelos pontos A=(0,1) e B=(-3,4).
Na caixa de entrada, digite os pontos A e B.
Na caixa de entrada, digite "reta[A,B]", ou no 4º ícone da barra de ferramentas, escolha "Reta definida por Dois Pontos".
Na Janela de Álgebra ou na Janela de Visualização, clique no ponto A e, em seguida, no ponto B.
No 8º ícone da barra de ferramentas, escolha "Inclinação".
Verifique que aparecerá na Janela de Álgebra a seguinte solução: a1=-1 e na Janela de Visualização:
6) Determine a distância entre os pontos A=(2,4) e B=(6,1).
Solução:
Na caixa de entrada, digite os pontos A e B.
No 8º ícone da barra de ferramentas, escolha "Distância, Comprimento ou Perímetro".
Verifique que aparecerá a solução na Janela de Álgebra e também na Janela de Visualização: d=5 (distânciaAB=5).
7) Determine a distância entre o ponto A=(-2,3) e a reta (t) 2x+3y=-4.
Solução:
Na caixa de entrada, digite os pontos A e a equação da reta t.
No 8º ícone da barra de ferramentas, escolha "Distância, Comprimento ou Perímetro".
Na Janela de Álgebra ou na Janela de Visualização, clique no ponto A e, em seguida, na reta t.
Verifique que aparecerá a solução na Janela de Álgebra e também na Janela de Visualização: d=2,5 (distânciaAt=2.5).
8) Determine a área do ∆ABC, em que A=(-1,4), B=(1,0) e C=(3,6).
Solução:
Na caixa de entrada, digite os pontos A, B e C.
No 5º ícone da barra de ferramentas, escolha "Polígono".
Na janela de Álgebra ou na Janela de Visualização, clique nos pontos A, B, C e A (qualquer que seja o polígono, é sempre necessário voltar ao primeiro ponto para fechar o polígono).
Verifique que aparecerá automaticamente a solução na Janela de Álgebra: Area=10 (pol1=10).
9) Verifique se os pontos A=(1,5), B=(3,2) e C=(6,-2) estão alinhados.
No 5º ícone da barra de ferramentas, escolha "Polígono".
Na janela de Álgebra ou na Janela de Visualização, clique no ponto A, B, C e A novamente.
Verifique que, na janela de Álgebra, aparece uma área diferente de zero, o que mostra que os pontos não estão alinhados (pol1=0.5).
10) Dado ∆ABC, em que A=(-3,1), B=(1,6) e C=(4,-2), determine a altura relativa ao vértice A.
Na caixa de entrada, digite os pontos A, B e C.
No 8º ícone da barra de ferramentas, escolha "Distância, Comprimento ou Perímetro".
Clique no ponto A e, em seguida, no segmento BC.
11) Determine a área do triângulo formado pelos pontos A=(2,3), B=(4,5) e C=(6,2).
Solução:
Na caixa de entrada, digite os pontos A, B e C.
No 5º ícone da barra de ferramentas, escolha "Polígono".
Na Janela de Visualização ou na Janela de Álgebra, clique no ponto A, B, C e A novamente.
Verifique que aparecerá a solução na Janela de Álgebra e também na Janela de Visualização: Área=5 (pol1=5).
Verifique que aparecerá a solução na Janela de Álgebra e também na Janela de Visualização: Área=5 (pol1=5).
12) Dados os pontos A=(-1,3), B=(2,1) e C=(-1,-2), determine a equação geral da reta s que passa por C e é paralela à reta AB.
Na caixa de entrada, digite os pontos A, B e C.
No 4º ícone da barra de ferramentas, escolha "Reta Paralela".
Clique na reta AB e, em seguida, no ponto C.
Na Janela de Álgebra, verifique a resposta: s: -2x-3y=8
13) Dado o ponto P=(3,2) e a reta (r) 3x+6y=1, encontre a equação reduzida da reta t que passa por P e é perpendicular a r.
Na caixa de entrada, digite o Ponto P e a equação da reta r.
No 4º ícone da barra de ferramentas, escolha "Reta Perpendicular".
Clique no ponto P e, em seguida, na reta r.
Na Janela de Álgebra, clique com o botão direito na equação da reta t ou na Janela de Visualização, clique em cima da reta e escolha: "Equação y=ax+b".Na Janela de Álgebra, verifique que aparecerá a resposta: t: y=2x-4.
14) Determine o ângulo agudo formado pelas retas (r) 7x+2y=7 e (t) 2x-7y=5.
Na caixa de entrada, digite as equações das retas r e s.
No 8º ícone da barra de ferramentas, escolha "Ângulo".
Na Janela de Álgebra ou na Janela de Visualização, clique na reta r e, em seguida, na reta s.
Verifique que o Geogebra dá o ângulo obtuso. Tirando 270º de 360º, obtemos a solução: 90º.
Na caixa de entrada, digite os pontos A, B e C.
Sabendo a definição de mediana, não é necessário desenhar o triângulo para dar a resposta.
No 2º ícone da barra de ferramentas, escolha "Ponto Médio ou Centro".
Clique no ponto A e, em seguida, no ponto B. Verifique que aparecerá o ponto médio D.
Verifique que aparecerá a solução na Janela de Álgebra e também na Janela de Visualização: d=6,4 (distânciaCD=6.4).
Sabendo a definição de mediana, não é necessário desenhar o triângulo para dar a resposta.
No 2º ícone da barra de ferramentas, escolha "Ponto Médio ou Centro".
Clique no ponto A e, em seguida, no ponto B. Verifique que aparecerá o ponto médio D.
No 8º ícone da barra de ferramentas, escolha "Distância, Comprimento ou Perímetro".
Clique no ponto C e, em seguida, no ponto D.
16) Dado ∆ABC, em que A=(3,2), B=(-3,0) e C=(1,4), determine a equação reduzida da mediatriz t do lado AB.
Solução:
Na caixa de entrada, digite os pontos A, B e C.
Na Janela de Visualização ou na Janela de Álgebra, clique no ponto A, B, C e A novamente.
No 2º ícone da barra de ferramentas, escolha "Ponto Médio ou Centro".
Na Janela de Visualização ou na Janela de Álgebra, clique no ponto A e, em seguida, no ponto B.
17) Determine o baricentro do ∆ABC, em que A=(-3,6), B=(-3,-4) e C=(3,4).
No 5º ícone da barra de ferramentas, escolha "Polígono".
No 2º ícone da barra de ferramentas, escolha "Ponto Médio ou Centro".
No 4º ícone da barra de ferramentas, escolha "Reta Perpendicular".
Na Janela de Visualização ou na Janela de Álgebra, clique no segmento AB e, em seguida, no ponto D.
Clique na equação da reta t na Janela de Álgebra ou na Janela de Visualização com o botão direito.
Na janela de Álgebra, verifique a resposta: t: y=-3x+1.
Na caixa de entrada, digite os pontos A, B e C.
Na Janela de Visualização ou na Janela de Álgebra, clique no ponto A e, em seguida, no ponto B. Verifique que aparecerá o ponto médio D.
Na Janela de Visualização ou na Janela de Álgebra, clique no ponto A e, em seguida, no ponto C. Verifique que aparecerá o ponto médio E.
Verifique que aparecerá na Janela de Visualização e na Janela de Álgebra a seguinte solução: F=(-1,2).
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18) Determine o circuncentro do ∆ABC, em que A=(3,2), B=(-3,0) e C=(1,4).
Solução:
Na caixa de entrada, digite os pontos A, B e C.
No 4º ícone da barra de ferramentas, escolha "Mediatriz".
Na Janela de Visualização ou na Janela de Álgebra, clique no ponto A e, em seguida, no ponto B.
Repita o procedimento anterior para os pontos A e C.
No 2º ícone da barra de ferramentas, escolha "Interseção de Dois Objetos".
Verifique que o circuncentro é o ponto D(0,1).
OBS.: Sabendo a definição de circuncentro, não é necessário desenhar o triângulo para dar a resposta.
19) Determine o incentro do ∆ABC, em que A=(-3,-3), B=(-3,0) e C=(1,0).
Solução:
Na caixa de entrada, digite os pontos A, B e C.
No 5º ícone da barra de ferramentas, escolha "Polígono".
Na Janela de Visualização ou na Janela de Álgebra, clique no ponto A, B, C e A novamente.
No 4º ícone da barra de ferramentas, escolha "Bissetriz".
Na Janela de Visualização ou na Janela de Álgebra, clique nos lados AB e AC.
Na Janela de Visualização ou na Janela de Álgebra, clique nos lados AC e BC.
20) Determine o ortocentro do ∆ABC, em que A=(1,2), B=(-3,0) e C=(-3,4).
Solução:
Na caixa de entrada, digite os pontos A, B e C.
No 5º ícone da barra de ferramentas, escolha "Polígono".
Na Janela de Visualização ou na Janela de Álgebra, clique no ponto A, B, C e A novamente.
No 4º ícone da barra de ferramentas, escolha "Reta Perpendicular".
Na Janela de Visualização ou na Janela de Álgebra, clique na reta AC e, em seguida, no ponto B.
Na Janela de Visualização ou na Janela de Álgebra, clique na reta BC e, em seguida, no ponto A.
Verifique que o ortocentro é o ponto D(-2,2).
21) Seja (c) (x-2)2+(y-2)2=4, determine a equação da reta secante s que passa pelo ponto P=(3,y) e pelo centro de c.
Solução:
Na caixa de entrada, digite o ponto P e a equação da circunferência c.
Digite a equação da circunferência assim: c:(x-2)^2+(y-2)^2=4 ou então na caixa de entrada de comandos digite as informações da circunferência neste formato: Círculo[<Centro>, <Medida do Raio> ] que fica assim: Círculo[(2,2),2].
Verifique que são duas as secantes e suas equações estão na Janela de Álgebra.
Digite a equação da circunferência assim: c:(x-2)^2+(y-2)^2=4 ou então na caixa de entrada de comandos digite as informações da circunferência neste formato: Círculo[<Centro>, <Medida do Raio> ] que fica assim: Círculo[(2,2),2].
Verifique que são duas as secantes e suas equações estão na Janela de Álgebra.
22) Determine as equações das retas r e s tangentes à circunferência (c) (x+1)2+(y-1)2=4 nos pontos de interseção de c com o eixo das ordenadas.
Solução:
Na caixa de entrada, digite a equação da circunferência c.
Verifique as equações na Janela de Álgebra.
Verifique as equações na Janela de Álgebra.
23) Verifique a posição entre as circunferências c1 e c2, sabendo que (c1) (x-1)2+(y-3)2=4 e (c2) (x-4)2+(y-3)2=9.
Solução:
Na caixa de entrada, digite as equações das circunferências c1 e c2.
Verifique que as circunferências são secantes.
Verifique que as circunferências são secantes.
24) Determine a equação da circunferência c1 com centro C1=(-1,1) tangente à
Solução:
(c2) (x+2)2+(y-1)2=4.
Na caixa de entrada, digite a equação da circunferência c2.
Verifique que há duas possibilidades de circunferências tangentes: uma interna e outra externa. Na Janela de Álgebra, verifique as soluções:
c11:(x+1)2+(y-1)2=9 e c12:(x+1)2+(y-1)2=1.
Verifique que há duas possibilidades de circunferências tangentes: uma interna e outra externa. Na Janela de Álgebra, verifique as soluções:
c11:(x+1)2+(y-1)2=9 e c12:(x+1)2+(y-1)2=1.
25) Verifique a posição entre as circunferências c1 e c2, sabendo que (c1) x2+(y-1)2=4 e
Solução:
(c2) (x+3)2+(y+1)2=1.
Na caixa de entrada, digite as equações das circunferências c1 e c2.
Verifique a solução na Janela de Visualização: exteriores.
Verifique a solução na Janela de Visualização: exteriores.
26) Verifique a posição entre as circunferências c1 e c2, sabendo que (c1) (x+2)2+y2=9 e
Solução:
(c2) (x+2)2+y2=1.
Na caixa de entrada, digite as equações das circunferências c1 e c2.
Verifique a solução na Janela de Visualização: Concêntricas (uma dentro da outra).
Verifique a solução na Janela de Visualização: Concêntricas (uma dentro da outra).
27) Verifique a posição entre as circunferências c1 e c2, sabendo que (c1) (x-1)2+(y-2)2=9 e (c2) x2+(y-2)2=1.
Solução:
Na caixa de entrada, digite as equações das circunferências c1 e c2.
Verifique a solução na Janela de Visualização: uma dentro da outra.
Verifique a solução na Janela de Visualização: uma dentro da outra.
