Círculo Trigonométrico
O Círculo Trigonométrico, também chamado de Ciclo ou Circunferência Trigonométrica, é uma representação gráfica que auxilia no cálculo das razões trigonométricas.
Círculo trigonométrico e as razões trigonométricas
De acordo com a simetria do círculo trigonométrico temos que o eixo vertical corresponde ao seno e o eixo horizontal ao cosseno. Cada ponto dele está associado aos valores dos ângulos.
Ângulos Notáveis
No círculo trigonométrico podemos representar as razões trigonométricas de um ângulo qualquer da circunferência.
Chamamos de ângulos notáveis aqueles mais conhecidos (30°, 45° e 60°). As razões trigonométricas mais importantes são seno, cosseno e tangente:
| Relações Trigonométricas | 30° | 45° | 60° |
|---|
| Seno | 1/2 | √2/2 | √3/2 |
| Cosseno | √3/2 | √2/2 | 1/2 |
| Tangente | √3/3 | 1 | √3 |
Radianos do Círculo Trigonométrico
A medida de um arco no círculo trigonométrico pode ser dada em grau (°) ou radiano (rad).
- 1° corresponde a 1/360 da circunferência. A circunferência é dividida em 360 partes iguais ligadas ao centro, sendo que cada uma delas apresenta um ângulo que corresponde a 1°.
- 1 radiano corresponde à medida de um arco da circunferência, cujo comprimento é igual ao raio da circunferência do arco que será medido.
Figura do Círculo Trigonométrico dos ângulos expressos em graus e radianos
Para auxiliar nas medidas, confira abaixo algumas relações entre graus e radianos:
- π rad = 180°
- 2π rad = 360°
- π/2 rad = 90°
- π/3 rad = 60°
- π/4 rad = 45°
Obs: Se quiser converter essas unidades de medidas (grau e radiano) utiliza-se a regra de três.
Exemplo: Qual a medida de um ângulo de 30° em radianos?
π rad -180°
x – 30°
x = 30° . π rad/180°
x = π/6 rad
Quadrantes do Círculo Trigonométrico
Quando dividimos o círculo trigonométrico em quatro partes iguais, temos os
quatro quadrantes que o constituem. Para compreender melhor, observe a figura abaixo:
- 1.° Quadrante: 0º < x < 90º ou 0 < x < π/2
- 2.° Quadrante: 90º < x < 180º ou π/2 < x < π
- 3.° Quadrante: 180º < x < 270º ou π < x < 3π/2
- 4.° Quadrante: 270º < x < 360º ou 3π/2 < x < 2π
Arcos Côngruos
Dois arcos são congruentes ou côngruos, quando
possuem a mesma extremidade. Deve-se levar como padrão, os arcos do 1°
quadrante.
Ex.: 120° é congruente a qual arco do 1°
quadrante?
Como 120° pertence ao 2° quadrante ( 90°
< 120° < 180°), então usa-se a expressão 180° - 120° = 60°. Logo, 120° é congruente a
60°.
Ex³.: 225° é congruente a qual arco do 1°
quadrante?
Como 225° pertence ao 3° quadrante ( 180°
< 225° < 270°), então usa-se a expressão 225° - 180º = 45°. Logo, 225° é congruente a
45°.
Ex.: 330° é congruente a qual arco do 1°
quadrante?
Como 330° pertence ao 3° quadrante ( 270°
< 330° < 360°), então usa-se a expressão 360° - 330° = 30°. Logo, 330° é congruente a
30°.
- Se o ângulo x é do 2° quadrante, usa-se a expressão 180° - x =
ao arco côngruo que está no 1° quadrante;
- Se o ângulo x é do 3° quadrante, usa-se a expressão 270° - x =
ao arco côngruo que está no 1° quadrante;
- Se o ângulo x é do
4° quadrante, usa-se a expressão 360° - x = ao arco côngruo que está no 1°
quadrante;
Forma Geral de Arcos Côngruos
Todos os arcos no círculo trigonométrico possuem determinações, isto é, tem origem e extremidade. Dois ou mais arcos podem ter a mesma determinação, mas não podemos garantir que eles possuam o mesmo comprimento, pois ocorre que eles podem possuir um número inteiro de voltas completas diferentes. Nesse caso devemos aplicar uma definição geral para representar arcos e todos os seus côngruos.
Se um arco mede α graus, podemos expressar todos os arcos côngruos a ele da seguinte forma: α + 360º*k, k ? Z. Caso a medida do ângulo do arco seja dada em radianos, representamos por: α + 2π*k, k ? Z.
A determinação principal de um arco que mede α (graus ou radianos) é dada de acordo com as definições: 0º ≤ α < 360º ou 0 ≤ α < 2π. No caso de um ângulo maior que 360º devemos realizar a divisão por 360º e considerar o resto o valor da determinação principal. O resultado da divisão mostrará quantas voltas o arco realizou. Observe:
Exemplo 1 Considerando o arco α = 2100º, qual será a sua determinação principal.
2100º : 360º = quociente 5 e resto igual a 300. Portanto, o arco possui determinação principal no 4º quadrante (300º), com 5 voltas completas.
Exemplo 2
Dado o arco 17π/4 rad, a sua determinação principal será:
17π/4 rad = 16π/4 + π/4 = 4π + π/4, onde:
4π = corresponde a duas voltas completas
π/4 = determinação principal (45º – 1º quadrante)
Exemplo 3
Calcule a determinação principal do arco 26π/3 rad.
26π/3 rad = 6π/3 + 6π/3 + 6π/3 + 6π/3 + 2π/3 = 24π/3 + 2π/3 = 8π + 2π/3
8π = quatro voltas completas.
2π/3 = determinação principal (120º – 2º quadrante)
Exemplo 4
Determine a expressão geral dos arcos trigonométricos côngruos aos arcos de:
a) 3π/4 rad = 3π/4 + 2π * k, k ? Z
b) 75º = 75º + 360º * k, k ? Z
c) 14π/3 rad = 12π/3 + 2π/3
2π/3 + 2π * k, k ? Z
d) 1220º = 360º + 360º + 360º + 140º
140º + 360º * k, k ? Z
Círculo Trigonométrico e seus Sinais
De acordo com o quadrante em que está inserido, os valores do seno, cosseno e tangente variam.
Ou seja, os ângulos podem apresentar um valor positivo ou negativo.
Para compreender melhor, veja a figura abaixo:
Como Fazer o Círculo Trigonométrico?
Para fazer um círculo trigonométrico, devemos construí-lo sobre o eixo de coordenadas cartesianas com centro em O. Ele apresenta um raio unitário e os quatro quadrantes.
Razões Trigonométricas
As razões trigonométricas estão associadas às medidas dos ângulos de um triângulo retângulo.
Representação do triângulo retângulo com seus catetos e a hipotenusa
Elas são definidas pelas razões de dois lados de um triângulo retângulo e do ângulo que forma, sendo classificadas em
seis maneiras:
Seno (sen)
Lê-se cateto oposto sobre a hipotenusa.
Cosseno (cos)
Lê-se cateto adjacente sobre a hipotenusa.
Tangente (tan)
Lê-se cateto oposto sobre cateto adjacente.
Cotangente (cot)
Lê-se cosseno sobre seno.
Cossecante (csc)
Lê-se um sobre seno.
Secante (sec)
Lê-se um sobre cosseno
