Alunos dos 3.º anos

Prezados,

Para ajudar na nota de recuperação, para quem fez a prova e não conseguiu atingir a média (5,0), por favor segue uma atividade em Excel para entrega dia 09/12.
A atividade consta em achar a média, mediana, variância populacional e desvio padrão populacional com até duas casas após a vírgula.
Vocês vão utilizar os recursos do Excel para facilitar os cálculos.

Segue as fórmulas do Excel:

Média: Vocês irão utilizar a fórmula média e colocar o intervalo dos dados que precisam calcular.

Ex:  =média(d3:d22)


Mediana: A fórmula med e colocar o intervalo dos dados que precisam calcular.

Ex:  =med(d3:d22)


Variância Populacional: A fórmula é var.p e colocar o intervalo dos dados para calcular.

Ex: =var.p(d3:d22)



Desvio Padrão Populacional: A fórmula é desvpad.p e colocar o intervalo dos dados.

Ex: =desvpad.p(d3:d22)


Vocês podem imprimir e entregar na segunda-feira dia 09/12. Quem não conseguir comparecer pode enviar pelo e-mail: professor_alexandre@aseeducacional.com.br .
Após esta data, não aceitarei mais a atividade.

Atividade de Recuperação (Estatística)


Obs.: Não esqueça de enviar o nome, número e série no corpo do e-mail.



Obrigado,

Professor Alexandre.

Recuperação dos 2.º anos

Prezados alunos,

Segue o link para recuperação dos 2.º anos B e C.

Vai ficar disponível até 08/12 às 23:59.

Avaliação de Recuperação (4.º Bimestre)

A planilha já está atualizada com os alunos que ficaram de recuperação.

Obrigado,

Professor Alexandre.

Recuperação dos 1.º anos

Prezados alunos,

A planilha já está atualizada com os alunos que ficaram de recuperação.

Segue a avaliação de recuperação, no link abaixo.

Avaliação de Recuperação  ( do dia 05/12 até  08/12)

A média final será a nota anual + nota da recuperação dividido por 2.

Se a média for maior ou igual a 5, você está aprovado.


Obrigado,

Professor Alexandre.

Recuperação dos 3.º anos

Prezados alunos,

A planilha já está atualizada com os alunos que ficaram de recuperação.

Segue a avaliação de recuperação, no link abaixo.

Avaliação de Recuperação  ( do dia 05/12 até  08/12)

A média final será a nota anual + nota da recuperação dividido por 2.

Se a média for maior ou igual a 5, você está aprovado.


Obs.: As notas que estão na coluna do Saresp, estão sujeitas a confirmação, isto é, verificar a presença do aluno nos dois dias de prova. Caso tenha somente a presença em um único dia, não terá direito aos dois pontos e nem proporcional.

Obrigado,

Professor Alexandre.

Médias Finalizadas (Ensino Médio)

Prezados alunos,

As médias de todas as salas estão concluídas.

Obs.: Os alunos que estão em recuperação, aguardar a avaliação online que será postada neste blog.

Utilizar este link para ver as médias:  Médias 2019 .


Grato,

Professor Alexandre.

Lista de Exercícios de Recuperação (8.º anos A e B )

Prezados alunos,

Segue a lista de exercícios para entregar dia 05/12.

Lista de Exercícios de Recuperação


Obs.: Somente para os alunos de recuperação.


Atenciosamente,

Professor Alexandre.

Médias 2019

Prezados alunos,

As planilhas das médias 2019 está em um novo servidor para download.
Se você está tendo problemas para visualizar suas médias, tente o link abaixo:

Médias 2019


Atenciosamente,

Professor Alexandre.

Médias 4.º Bimestre e Recuperação (8.º anos A e B)

Prezados alunos,
Seguem os alunos de recuperação dos 8.º anos A e B.

8.º A

Números: 1, 2, 3, 6, 8,14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 23, 25, 29, 30 e 32.


8.º B

Números: 1, 5, 8, 11,12, 13, 15, 17, 18, 20, 22, 25, 28 e 29.

Os alunos acima, terão que comparecer na semana de recuperação entre os dias 02/12 à  06/12.
02/12==> Explicação do conteúdo
05/12 ==> Avaliação de Recuperação e entrega da lista de exercícios.

Estou recebendo as listas de exercícios I e II e o simulado para compor a nota do 4.º bimestre. Caso realize as atividades e vou estar atualizando as notas, portanto fique atento, depois dessas atividades a nota será alterada e possivelmente possa sair da lista de recuperação.

Obs.: A planilha do 8.º A e B já está atualizada.

Obrigado,

Professor Alexandre.

       

Simulado de Matemática 8.º anos A e B (4.º Bimestre)

Prezados alunos,

Segue o link para resolução do simulado.

Simulado de Matemática (4.º Bimestre)
Período para realização do simulado : 18/11 à 24/11.


Boa sorte!

Atenciosamente,
Professor Alexandre.

Fórmula de Euler para Poliedros (Relação de Euler)

V - A + F = 2, a fórmula de Euler para os poliedros

Nascido em Basileia (Suíça) no século XVIII, Leonhard Euler reparou em algo que antes tinha escapado a todos. Descobria assim uma das equações mais belas da matemática: a fórmula para os poliedros. David S. Richeson, professor de matemática no Dickinson College, na Pensilvânia, EUA, conta esta história num livro que chega este sábado às livrarias portuguesas, com muitos exemplos da aplicação da fórmula.

O cubo é o poliedro mais conhecido: aqui vemos o cubo de Rubik, ou cubo mágico

Ninguém a descobriu. Os matemáticos gregos da antiguidade — figuras proeminentes como Pitágoras, Teeteto, Platão, Euclides e Arquimedes, que eram fascinados por poliedros — não a descobriram. O grande astrónomo Johannes Kepler, que tinha tanta admiração pela beleza dos poliedros que baseou neles o seu modelo inicial do sistema solar, não a descobriu. Na sua investigação sobre poliedros, o matemático e filósofo René Descartes esteve a poucos passos lógicos de a descobrir, mas também lhe escapou. A estes matemáticos, bem como a tantos outros, escapou uma relação que é tão simples que pode ser explicada a qualquer criança em idade escolar, e no entanto é tão fundamental que faz parte do tecido com que é feita a matemática moderna.

O grande matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783) — cujo apelido se pronuncia “oiler” — descobriu-a. A 14 de Novembro de 1750, numa carta ao seu amigo, o especialista em teoria dos números Christian Goldbach (1690-1764), Euler escreveu: “É surpreendente que estas propriedades gerais da estereometria [geometria sólida] não tenham, tanto quanto sei, sido notadas por ninguém.” Nesta carta Euler descreveu a sua observação, e um ano mais tarde forneceu uma demonstração. Esta observação é tão básica e fundamental que hoje é conhecida por “fórmula de Euler para poliedros”.

pouso numa superfície horizontal, como por exemplo uma mesa]. As fronteiras destes quadrados formam as arestas. Contando-as, encontramos 12 no total: quatro na face de cima, quatro na de baixo, e quatro arestas verticais nas faces verticais. Os quatro cantos superiores e os quatro cantos inferiores formam os oito vértices do cubo. Assim, para o cubo, V = 8, A = 12, F = 6 e, naturalmente, 8 - 12 + 6 = 2, tal como previsto.

Para a bola de futebol em forma de poliedro, a contagem é mais demorada, mas podemos ver que possui 32 faces (12 pentágonos e 20 hexágonos), 90 arestas e 60 vértices. Novamente, 60 - 90 + 32 = 2.

A geometria das membranas de borracha
Para além do seu trabalho com poliedros, Euler fundou a área da analysis situs, hoje conhecida como topologia. A geometria é o estudo dos objectos rígidos. Os geómetras estão interessados em medir quantidades, tais como áreas, ângulos, volumes e comprimentos. A topologia, que herdou a designação popular “geometria das membranas de borracha”, é o estudo das formas maleáveis. O objecto de estudo de um topólogo não precisa de ser rígido ou de ter propriedades métricas. Os topólogos estão interessados em estudar propriedades como a conectividade, e investigar a existência de “buracos”, ou a posição de um objecto dentro de outro. Quando um palhaço dobra um balão para lhe dar a forma de um cão, o balão permanece a mesma entidade topológica, embora seja geometricamente muito diferente. Mas quando uma criança rebenta o balão com um lápis, deixando um notável orifício na sua superfície, o balão deixa de ser topologicamente o mesmo. Três exemplos de superfícies topológicas: a esfera, o donut em forma de toro e a faixa de Möbius.

Os estudiosos da jovem área da topologia, fascinados com a fórmula de Euler, tentaram aplicá-la a estas superfícies topológicas. Surgiu então a pergunta natural: onde estão os vértices, arestas e faces numa superfície topológica? Os topólogos, ignorando as rígidas regras estabelecidas pelos geómetras, permitiram que, neste caso mais geral, as faces e arestas sejam curvas. [Uma esfera pode ser, por exemplo, decomposta] em regiões “rectangulares” e triangulares”. A decomposição é obtida desenhando 12 linhas de longitude constante, que se encontram nos dois pólos (Norte e Sul), e 7 linhas de latitude constante. Assim, este globo tem 72 faces rectangulares curvas, 24 faces triangulares curvas (localizadas junto aos pólos Norte e Sul), perfazendo um total de 96 faces. E tem 180 arestas e 86 vértices. Assim, tal como no caso dos poliedros, verificamos que: V - A + F = 62 - 180 + 96 = 2.

Da mesma forma, a bola de futebol usada no Mundial de Futebol de 2006, que consiste em seis faces com a forma do número oito, cada uma com quatro arestas curvilíneas, e oito regiões hexagonais disformes, também satisfaz a fórmula de Euler (pois tem V = 24, A = 36 e F = 14).

Chegados a este ponto, somos tentados a conjecturar que a fórmula de Euler se aplica a qualquer superfície topológica. No entanto, se decompusermos um “toro” em faces rectangulares curvadas, obtemos um resultado surpreendente. Esta decomposição é obtida colocando dois círculos em volta do orifício central do “toro” e 4 círculos em torno do seu tubo circular. A decomposição tem 8 faces de quatro lados, 16 arestas e 8 vértices. Aplicando a fórmula de Euler obtemos: V - A + F = 8 - 16 + 8 = 0, em vez do esperado número 2.

Se construíssemos uma decomposição diferente do toro, iríamos descobrir que a mesma soma alternada dá novamente zero. Isso dá-nos uma nova fórmula de Euler para o toro: V - A + F = 0.

Podemos mostrar que qualquer superfície topológica tem a “sua própria” fórmula de Euler. Não importa se decompomos a superfície de uma esfera em 6 ou 1006 faces, pois quando aplicamos a fórmula de Euler obtemos sempre o número 2. Da mesma forma, se aplicarmos a fórmula de Euler a qualquer decomposição do toro, obteremos 0. Este número especial pode ser utilizado para distinguir as superfícies, assim como o número de rodas pode ser utilizado para distinguir os veículos que circulam nas estradas. Cada automóvel tem quatro rodas, cada camioneta tem dezoito rodas, e cada motorizada tem duas rodas. Se um veículo não tiver quatro rodas, então não é um automóvel, se não tem duas rodas, deduz-se que não é uma motorizada. Da mesma forma, se V - A + F não é 0, então topologicamente a superfície não é um toro.

A soma V - A + F é uma quantidade intrinsecamente associada à forma em estudo. Na terminologia usada pelos topólogos, dizemos que é um “invariante” da superfície. Devido a esta notável propriedade de invariância, chamamos ao número V - A + F, o número de Euler de superfície. Assim, o número de Euler de uma esfera é 2, e o número de Euler de um toro é 0.

O facto de cada superfície ter o seu próprio número de Euler pode parecer uma mera curiosidade matemática, algo para contemplar e comentar “não é fixe?”, enquanto seguramos uma bola de futebol, ou olhamos para uma cúpula de uma igreja. Mas não é certamente o caso. Como veremos, o número de Euler é uma ferramenta indispensável no estudo de poliedros, bem como na topologia, geometria, teoria de grafos e sistemas dinâmicos; e tem também algumas aplicações muito elegantes e inesperadas.

Um nó matemático é como um pedaço de corda entrelaçado e sem extremidades. Dois nós dizem-se equivalentes se um deles pode ser deformado no outro sem cortar ou colar a corda. Tal como usamos o número de Euler para ajudar a distinguir duas superfícies, com um pouco de criatividade, podemos também usá-lo para distinguir nós. (…)

[No exemplo de um] mapa [com] as direcções do vento, num certo instante, à superfície da Terra, há um ponto na costa do Chile onde o vento não está a soprar. Este ponto está localizado num certo local dentro do vórtice que gira no sentido horário. Podemos provar que há sempre pelo menos um ponto na superfície da Terra onde não há vento. Isto não é consequência da compreensão da meteorologia, mas sim da compreensão da topologia. A existência deste ponto de acalmia decorre de um teorema que os matemáticos designam por “teorema da bola cabeluda”. Se pensarmos nas direcções do vento como fios de cabelo sobre a superfície da Terra, então deve haver algum ponto onde o cabelo não está “penteado”. Coloquialmente, dizemos que “não se pode pentear o pêlo de um coco”. (…) O número de Euler permite-nos estabelecer esta ousada afirmação.

Há um problema antigo e interessante que pergunta quantas cores são necessárias para colorir um mapa de tal maneira que cada par de países com uma fronteira comum não seja da mesma cor. Considere um mapa em branco dos Estados Unidos comece a colori-lo com lápis de cor de forma arbitrária. Irá rapidamente descobrir que a maior parte do país pode ser colorida usando apenas três cores, mas que uma quarta cor é necessária para completar o mapa. Por exemplo, uma vez que um número ímpar de estados rodeiam o Nevada, vão ser necessárias três cores para colori-los; assim, terá que usar um quarto lápis de cor para o estado do Nevada. Se formos cuidadosos, poderemos concluir a coloração sem o uso de cinco cores — quatro cores são suficientes para todo o mapa dos Estados Unidos.

Foi conjecturado que qualquer mapa pode ser colorido com quatro cores ou menos. Esta conjectura surpreendentemente difícil tornou-se conhecida como o problema das quatro cores [Francis Guthrie (1831-1899), um recém-licenciado em matemática, reparou que todas as províncias de Inglaterra poderiam ser pintadas com apenas quatro cores, questionou-se sobre se isso seria sempre verdade, e formulou a conjectura das quatro cores, segundo a qual todos os mapas podem ser pintados com quatro cores ou menos de modo a que não haja países vizinhos com a mesma cor.]. (…) A história fascinante [deste problema] terminou com uma controversa demonstração em 1976, na qual o número de Euler desempenhou um papel fundamental.

Apenas e só cinco sólidos regulares
A grafite e o diamante são dois materiais cuja constituição química é inteiramente formada por átomos de carbono. Em 1985, três cientistas — Robert Curl Jr., Richard Smalley e Harold Kroto — abalaram a comunidade científica, ao descobrir “uma nova classe de moléculas de carbono”. Eles chamaram a estas moléculas fulerenos, em homenagem ao arquitecto Buckminster Fuller, inventor da cúpula geodésica. Este nome foi escolhido porque os fulerenos são grandes moléculas poliédricas que se assemelham a estruturas arquitectónicas. Pela descoberta dos fulerenos, os três homens foram galardoados com o Prémio Nobel da Química em 1996. No fulereno, cada átomo de carbono liga-se exactamente a três vizinhos, e os menores ciclos de átomos de carbono formam pentágonos ou hexágonos. Inicialmente Curl, Smalley e Kroto descobriram fulerenos com 60 e com 70 átomos de carbono, mas outros fulerenos foram descobertos mais tarde.

O fulereno mais abundante é o C60, uma molécula com a forma de uma bola de futebol típica, a forma que eles apelidaram de “fulereno de Buckminster”. É notável que, se esquecermos a química e soubermos apenas a fórmula de Euler, somos capazes de concluir que há certas configurações de átomos de carbono que são impossíveis num fulereno. Por exemplo, cada fulereno, independentemente do número de átomos, tem exactamente 12 ciclos pentagonais de carbono, embora o número de ciclos hexagonais não seja sempre o mesmo.

Ao longo de milhares de anos o homem sentiu-se atraído pela beleza sedutora dos sólidos regulares — poliedros cujas faces são polígonos regulares, todas idênticas. Os gregos descobriram esses objectos, Platão incluiu-os na sua teoria atómica, e Kepler baseou um modelo inicial do sistema solar nestes sólidos. Parte do mistério que envolve estes cinco poliedros reside em serem poucos — nenhum outro poliedro, para além destes cinco, satisfaz os rigorosos requisitos de regularidade. Uma das aplicações mais elegantes da Fórmula de Euler é a demonstração, muito curta, de que existem apenas cinco sólidos regulares.

Apesar da importância e beleza da fórmula de Euler, esta é praticamente desconhecida pelo público geral. Ela não aparece no currículo usual que é ensinado nas escolas. Alguns alunos do ensino secundário poderão saber esta fórmula de Euler, mas a maioria dos alunos de matemática não encontram esta relação até entrarem na universidade.

A fama na matemática é uma coisa curiosa. Alguns teoremas são bem conhecidos porque são repetidamente incutidos nas cabeças dos jovens alunos: o teorema de Pitágoras, a fórmula resolvente do segundo grau, o teorema fundamental do cálculo. Outros resultados são colocados no centro das atenções porque resolvem um famoso problema em aberto. O último teorema de Fermat manteve-se em aberto por mais de três séculos até que Andrew Wiles surpreendeu o mundo com a sua demonstração em 1993, o problema das quatro cores foi enunciado em 1853 e só foi resolvido por Kenneth Appel e Wolfgang Haken em 1976. A famosa conjectura de Poincaré foi proposta em 1904 e constitui um dos Problemas do Milénio do Clay Mathematics Institute — uma colecção de sete problemas considerados tão importantes que quem os resolver receberá um milhão de dólares. Este prémio será previsivelmente atribuído a Grisha Perelman, pela sua demonstração da conjectura de Poincaré em 2002 [após a edição original deste livro, este prémio foi de facto atribuído a Perelman, embora ele o tenha recusado]. Outros factos matemáticos são bem conhecidos devido à sua interdisciplinaridade (por exemplo, a sequência de Fibonacci na natureza) ou pela sua importância histórica (a infinitude dos números primos, a irracionalidade do número Pi).

A fórmula de Euler merece ser tão bem conhecida como estes grandes teoremas. A sua história é muito rica, e muitos dos maiores matemáticos do mundo contribuíram para o seu desenvolvimento. É um resultado profundo, e a nossa apreciação dessa profundidade vai aumentando com o grau de sofisticação matemática.

Esta é a história do belo teorema de Euler. (…) Esta fórmula, que passou muito tempo despercebida de todos, tornou-se um dos teoremas mais queridos da matemática.

Avaliação de Matemática - 4.º Bimestre - 1.º D

Prezados alunos (1.º D) ,

Segue o link abaixo com a avaliação de matemática que deverá ser respondida do dia 18/11 até 24/11.

Avaliação de Matemática- 4.º Bimestre - 1.º D

Boa sorte!

Atenciosamente,

Professor Alexandre.

Avaliação de Matemática- 4.º Bimestre- 2.º anos B e C

Prezados alunos,

No link abaixo, segue a avaliação de matemática do 4.º bimestre.
O período para resolução da prova é do dia 18/11 à 24/11.

Avaliação de Matemática - 2.º B e C - 4.º Bimestre


Boa sorte!

Atenciosamente,
Professor Alexandre.

Regras da ABNT 2019 para elaboração de trabalhos de pesquisa

A Introdução deve conter os temas que serão tratados no trabalho, além da justificativa e do objetivo do trabalho. Ao escrever o texto, faça uma apresentação breve e clara da temática estudada, valorizando acima de tudo a delimitação. Na sequência, exponha a justificativa e levante questionamentos para chegar até o problema do pesquisa. Você também pode usar essa parte do trabalho para indicar como será a ordem dos capítulos.

O desenvolvimento é a principal parte do trabalho, que deve conter a exposição do assunto tratado de forma detalhada e completa.

Para escrever o desenvolvimento, o aluno precisa ter bem claro o seu objetivo geral e os objetivos específicos. É com base nesses tópicos que ele vai conseguir formular os capítulos e utilizar a fundamentação teórica para defender os seus argumentos. É importante seguir uma ordem lógica, para que o leitor não corra o risco de se perder. Essa seção do trabalho também é dedicada às entrevistas e análises aprofundadas de questionários.

Ao elaborar a fundamentação teórica do trabalho, é muito importante consultar artigos científicos, teses e livros revisados por especialistas. Uma ferramenta útil para buscar fontes confiáveis e de autoridade é o Google Acadêmico.  O motor de busca consulta várias bases de dados para elencar os seus resultados, inclusive os acervos de entidades acadêmicas, organizações profissionais e repositórios de grandes universidades.

Ao esquematizar um roteiro para o desenvolvimento do trabalho o estudante deve responder as seguintes perguntas:

• O quê vou pesquisar? (Problema)
• Para quê serve esse trabalho? (Objetivo geral e objetivos específicos)
• Por quê devo realizar a pesquisa? (Justificativa)
• Como vou fazer esse estudo? (Metodologia)

A Conclusão é a finalização do trabalho, onde o autor recapitula o assunto e fala um pouco sobre os resultados. Também chamada de considerações finais, essa parte do trabalho de pesquisa mostra se a investigação atingiu (ou não) os seus objetivos. Não existe uma receita pronta para redigir essa seção. Em geral, recomenda-se: expor as próprias ideias, resumir o conteúdo e expor as principais inferências. Lembre-se de que o conhecimento científico está em constante evolução, portanto, não dá para criar conclusões fechadas sobre um assunto.  (verdades únicas e absolutas).

Referências Bibliográficas

Como fazer referências? Essa é uma das principais dúvidas de quem estuda as regras da ABNT 2019 para trabalhos de pesquisa . Ao reunir as referências bibliográficas do seu trabalho, procure respeitar a padronização da ABNT.

As regras de formatação existem para padronizar os dados  e facilitar a identificação das fontes. Diversos documentos podem ser referenciados numa pesquisa científica, como livros, documentos eletrônicos online, fotografias e palestras.

Veja a seguir modelos de referências para seu trabalho :

Livro

O que deve conter na referência: sobrenome do autor em caixa alta, nome do autor, título em negrito, edição, cidade, editora e ano de publicação.

Exemplo:

PELCZAR JUNIOR, J. M. Microbiologia: conceitos e aplicações. 2. ed. São Paulo: Makron Books,. 1996.

Site

O que deve conter na referência: sobrenome do autor, nome do autor, título do texto, ano, link e data de acesso.

Exemplo:

MORETTI, Isabella. “Regras da ABNT para TCC: conheça as principais normas”. 2019. Disponível em: https://viacarreira.com/regras-da-abnt-para-tcc-conheca-principais-normas. Acesso em: 15/01/2019.

Capítulo de livro

O que deve conter na referência: sobrenome do autor em caixa alta, nome do autor do capítulo. Título do capítulo. In: sobrenome do organizador do livro em caixa alta, nome do organizador do livro. Título da obra em negrito. Local: Editora, ano, página inicial – página final.

Exemplo:

RECUERO, Raquel. Atos de ameaça à face e à Conversação em Redes Sociais na Internet. In: PRIMO, Alex (Org.). Interações em Rede. Porto Alegre: Editora Sulina, 2016. p. 51-69.

Artigo científico

O que deve conter na referência: sobrenome do autor do artigo em caixa alta, nome do autor. Título do artigo. Nome da revista em negrito, volume, número, página inicial-final, mês abreviado, ano.

Exemplo:

NEVES, Sandra Helena. Sustentabilidade no campo: técnicas para colocar esse conceito em prática. Revista Brasileira de Engenharia, v. 6, n. 2, p. 27-39, jun, 2010.

Anais eletrônicos de eventos

O que deve conter na referência: sobrenome do autor em caixa alta, nome do autor. Título. In: nome do evento em caixa alta e sem negrito, mês, ano, local de realização. Escreva Anais em negrito. Local, ano. Escreva Disponível em: endereço eletrônico Acesso: mês abreviado e ano.

Exemplo:

FERREIRA, Leandro. Uso das redes sociais nas escolas públicas de São Paulo. In: CONGRESSO BRASILEIRO DE MÍDIAS DIGITAIS, 02, 2016, Belo Horizonte. Anais […]. Belo Horizonte: Faculdades Integradas de BH, 2016. Disponível em: http://www.cbmd.com.br/trabalhos/560.pdf. Acesso em 12 de fev. 2017.

Reportagem de jornal

O que deve conter na referência: sobrenome do autor em caixa alta. Título da reportagem. Nome do jornal em negrito, local, ano, número da publicação, página, dia, mês, ano.

Exemplo:

DONATO, José. Impressora 3D transforma o mundo. Correio do Amanhã. Rio de Janeiro, ano 90, n. 230, p. 45, 3 mar. 2015.

Esses são apenas alguns modelos de referências de acordo com as normas da ABNT. No entanto, se o estudante busca facilidade na hora de formatar, ele deve considerar o uso de algumas ferramentas digitais, como é o caso do Mendeley e do MORE.

Anexos

O anexo é um elemento opcional, mas que pode ser de grande ajuda na hora de comprovar as informações expostas no desenvolvimento do trabalho. Ele nada mais é do que um conjunto de materiais produzidos por fontes terceiras, como orçamento, reportagens e mapas. Na hora de incluir o anexo no trabalho de pesquisa, lembre-se de citar a fonte e manter a uniformidade com o restante do trabalho.

O anexo deve ser identificado por letras maiúsculas consecutivas, travessão e títulos. Quando as 23 letras do alfabeto se esgotarem, recomenda-se o uso de letras dobradas para a identificação dos materiais. 

Exemplo:

ANEXO A – MAPA DA VIOLÊNCIA NOS BAIRROS DO RIO DE JANEIRO

ANEXO B – REPORTAGEM OS CHEFES DO TRÁFICO DE DROGAS NO RIO

Regras de formatação

Não sabe como formatar o trabalho de conclusão de curso? Então acompanhe a seguir as principais regras de formatação do trabalho de pesquisa:

Numeração de páginas

A contagem começa na folha de rosto, mas só aparece a partir da introdução. Os algoritmos devem aparecer sempre no canto superior direito, a 2 cm da borda. Veja o passo a passo de como enumerar páginas do TCC.

Margens

A margem superior e a esquerda devem ter 3cm de distância da borda. Já a inferior e a direita devem apresentar margem de 2cm.

Títulos e Textos

Todos os títulos do trabalho devem ser escritos no tamanho 12 (sugestão de fontes: Arial ou Times New Roman). Lembre-se de manter uma uniformidade com relação a tipografia. A mesma regra vale para o texto do trabalho de pesquisa  Não se esqueça que o espaçamento entre as linhas é de 1,5.

Notas de Rodapé

As Notas de rodapé são responsáveis por esclarecer e complementar determinados trechos do trabalho. Ao formatar uma nota, lembre-se de que as letras devem ter tamanho menor do que 12 e espaçamento simples entre as linhas.

Citações

Citação Direta

A citação direta traz o sobrenome do autor em caixa alta, o ano de publicação e a página da citação.  Esta informação deve estar entre parênteses e separada por vírgulas. Se a citação tem menos de três linhas, então ela é feita no corpo do texto, contando com aspas duplas. Quando a citação tem mais de três linhas, ela deve ter um recuo de 4 cm com relação ao restante do texto, sem destaque de aspas.

Citação indireta

A citação indireta é uma citação feita dentro do próprio texto, só que deve conter sobrenome do autor e ano de publicação entre parênteses.

Para obter informações mais detalhadas, de acordo com a necessidade da sua citação, leia a NBR 6023: 2002 e NBR 10522: 1988.

Bom trabalho!!

Trabalhos de Pesquisa para o E.M ( 1.º D, 2.º B e C "e" 3.º B e C )

Prezados alunos,

Seguem os trabalhos para entrega até dia 28/11.

1.º D - Introdução a Trigonometria (trigonometria no triângulo retângulo)

2.º B e C ==>  Geometria Espacial

3.º B e C ==>  Estatística para o Ensino Médio


Os trabalhos devem conter:

- Capa
- Contra-Capa (Folha de rosto)
- Sumário
- Introdução*
- Desenvolvimento* 
- Conclusão*
- Bibliografia
- Anexos (Optativo)

* Faz parte da pesquisa.

O trabalho deve ser digitado e impresso , obedecendo as regras da ABNT 2019. As normas da ABNT 2019 estão publicadas neste blog no dia 15/11.


Atenciosamente,

Professor Alexandre.

Avaliação de Matemática 3.º anos B e C (Estatística - 4.º Bimestre)

Prezados alunos,

Segue o link da avaliação de Matemática, para ser realizada entre os dias 18/11 e 24/11.           
Vocês acessarão a avaliação com o e-mail de vocês permitido uma única tentativa.

Avaliação de Matemática - 4.º Bimestre

Boa sorte!!

Atenciosamente,
Professor Alexandre.

TEOREMA DE PITÁGORAS | A Matemaníaca

Lista de Exercícios II ==> 8.º anos A e B

Prezados alunos,

Segue o link da lista de exercícios II para fazer em dupla e entregar dia 25/11.

Lista de Exercícios II (Teorema de Pitágoras)


Atenciosamente,

Professor Alexandre.

Lista de Exercícios (1.º ano D)

Prezados alunos,

Segue no link abaixo, a lista de exercícios para resolução em dupla e entrega no dia 25/11.

Lista de Exercícios (Relações Trigonométricas)


Atenciosamente,
Professor Alexandre.

Lista de Exercícios (2.º B e C)

Prezados alunos:


Segue o link abaixo, a lista de exercícios para fazer em dupla.
Entrega : 25/11


Lista de Exercícios (Geometria Espacial)



Atenciosamente,
Professor Alexandre.

Lista de Exercícios do 3.º B e C

Prezados alunos,

Segue o link da lista de exercícios sobre o tema Estatística, para fazer em dupla e a data de entrega é dia 25/11.

Lista de Exercícios (Estatística)


Atenciosamente.

Professor Alexandre.

Lista de Exercícios I - 4.º Bimestre - 8.º anos A e B

Prezados alunos,

Segue no link abaixo, a lista de exercícios I para entregar em dupla até o dia 11/11.

Lista de Exercícios I - 4.º Bimestre - 8.º anos A e B

Link 2-  Download (Caso não consiga visualizar o primeiro)

Lista de Exercícios I - 4.º Bimestre - 8.º anos A e B

Atenciosamente,

Professor Alexandre

Avaliação de Recuperação

Prezados alunos,

Seguem os links da prova de recuperação.
O link para resolução da prova ficará disponível até dia 22/06 às 23:59.


1.º ano do EM ===>     Avaliação de Recuperação (2.º Bimestre)


2.º ano do EM ===>     Avaliação de Recuperação (2.º Bimestre)


3.º ano do EM ===>    Avaliação de Recuperação (2.º Bimestre)


Atenciosamente,

Professor Alexandre

Novotec (Cursos para Alunos da Rede Estadual)

Lista de Exercícios 8.º anos ( Prazo Prorrogado)

Prezados alunos,

A nova data de entrega será na próxima segunda-feira dia 20/05.
Não será permitida uma nova data para entrega.

Obrigado,

Prof. Alexandre.

Lista de Exercícios 8.º anos

Prezados alunos(as)


Segue abaixo o link para download da lista de exercícios. Entregar até dia 17/05.


Lista de Exercícios (8.º anos - 2.º Bimestre)



Obrigado,

Prof. Alexandre.

COMO É SER MATEMÁTICO APLICADO? ft. Calvin| A Matemaníaca

ESSE VÍDEO NÃO É SOBRE O BURACO NEGRO ft. Paula Veloso | A Matemaníaca

TEOREMA DE PITÁGORAS | A Matemaníaca

8.º A e B

Prezados alunos,

Amanhã (18/04) olharei os cadernos para a nota do 1.º bimestre.
Não faltem!!

Grato,

Prof. Alexandre.

Prova de Recuperação ( 1.º D, 2.º B e C e 3.º B e C)

Prezados alunos,

A prova de recuperação será prorrogada até o dia 18/04.

Obrigado,

Prof. Alexandre.

Avaliação de Recuperação (3.;º B e C)

Prezados alunos,

Segue abaixo o link para fazer a avaliação de recuperação.
O prazo vai até dia 16/04.

Avaliação de Recuperação


Obrigado,

Prof. Alexandre.

Avaliação de Recuperação (1.º ano D)

Prezados alunos,

Segue o link para a realização da avaliação de recuperação.

Avaliação de Recuperação de Matemática


Obs.: Ficará disponível até o dia 16/04.

Obrigado,

Professor Alexandre.

Avaliação de Recuperação 1.º Bimestre (2.º B e 2.º C)

Alunos,

Segue o link para avaliação de recuperação.

Avaliação de Recuperação

Obs: A avaliação de ser realizada até dia 16/04.

Obrigado,

Alexandre

ÁREAS DE PESQUISA NA MATEMÁTICA | ICM 2018 #6 | A Matemaníaca

NUNCA MAIS EU VOU DORMIR: PROBLEMAS EM ABERTO | A Matemaníaca

6 MATEMÁTICAS QUE VOCÊ DEVERIA CONHECER | A Matemaníaca

Mancala (Jogo de Matemática Africano)

Prezados,

Jogo Mancala Online

Mancala é uma designação genérica dada pelos antropólogos a um grupo muito numeroso de jogos cultivados na África, que guardam entre si diversas semelhanças. Estudiosos já identificaram mais de 200 diferentes famílias de mancalas! E todas elas parecem ter uma origem comum no Egito, há cerca de 3500 a 4 mil anos. que mais

Os mancalas são praticados em geral sobre tabuleiros de madeira, que contém duas ou mais fileiras de concavidades alinhadas (casas). A quantidade de fileiras, bem como a quantidade de casas depende do tipo de mancala. As peças são tradicionalmente sementes secas ou pequenas conchas. Para o leitor experimentar o prazer de jogar Awelé, será preciso, portanto, providenciar esses componentes. O ideal seria arrumar um bonito pedaço retangular de madeira, com mais ou menos 14 centímetros de largura, 50 centímetros de comprimento e 2 centímetros de espessura, e nele escavar as concavidades. Se isso não for possível, podem-se providenciar quatorze recipientes (como, por exemplo, forminhas metálicas para doces) e fixá-las numa bandeja com fita adesiva, de acordo com o diagrama. Uma alternativa radicalmente rápida (porém não muito pratica, como se verá depois) consiste em desenhar num cartão a em tamanho natural e jogar em cima do desenho. Uma solução mais rural seria a utilizada pelos garotos africanos, que simplesmente escavam seus tabuleiros no chão. Esta ultima alternativa, inclusive, só reforça a bonita metáfora da semeadura que os mancalas propõem, além de ser uma boa solução para se jogar na praia. Para as peças o leitor pode utilizar grãos de feijão, ou, melhor, sementes de tremoços. A quantidade de peças também veria de acordo com o tipo de mancala, mas para o Awelé o leitor precisará de 48 sementes.

O Awelé é para dois jogadores e o objetivo é capturar o máximo de sementes. A preparação para o jogo consiste em colocar quatro sementes em cada um dos buracos (casas). Cada jogador fica diante de uma fileira de seis casas, que constituirão o seu campo. As duas concavidades maiores, nas extremidades do tabuleiro, não são usadas no jogo propriamente dito, mas servem para os jogadores colocarem as sementes capturadas.

Os jogadores se alternam, fazendo um lance por vez. A cada vez de jogar, o jogador deve pegar todas as sementes de uma casa não vazia do seu campo e reparti-las, semeando-as pelas casas seguintes, uma peça em casa. Para tanto as dozes casas do tabuleiro são consideradas como se formassem um círculo, que deve ser percorrido sempre no sentido anti-horário. Se o número de sementes a ser semeado for maior que onze, dá-se uma volta completa pelo tabuleiro, pula-se a casa de partida sem deixar ali nenhuma peça e prossegue-se repartindo as restantes pela casas seguintes. Feito isso, a vez passa para o adversário.

Para capturar sementes é preciso que a ultima casa onde o jogador semeou satisfaça duas condições: 1) pertença ao campo adversário; 2) contenha duas ou três sementes, já contando com aquela recém semeada. Neste caso, o jogador pega para si as sementes dessa casa e também as da casa precedente, desde que ela também satisfaça as suas condições. E também as da segunda precedente e assim por diante, até chegar a uma casa que não mais satisfaça às condições, quando então se encerra a jogada. As peças capturadas são retiradas do jogo e postas num dos buracos das extremidades do tabuleiro.

Há uma regra muito importante e inusitada: o jogador não pode deixar o adversário sem sementes em seu campo. Se isso ocorrer, o jogador deverá dar de comer ao adversário, como dizem tradicionalmente, fazendo uma jogada que recoloque sementes no campo dele, desde que isso seja possível num único lance. Caso contrário, a partida termina e o jogador pega para si todas as sementes que restaram no seu campo. A partida também se encerra se restarem tão poucas sementes sobre o tabuleiro que nenhuma captura seja mais possível. Neste caso, essas peças não ficam com ninguém. Tanto num caso como no outro o vencedor será aquele que tiver capturado mais sementes.

Bom divertimento!

(Fonte: Revista Superinteressante)

Simulado de Matemática (8.º ano A e B)

Alunos,

Segue o link para fazer o simulado e se preparar para a prova.

Simulado de Matemática (8.º A e B)

Atenciosamente,

Professor Alexandre

Geometria Analítica no Geogebra

Lista de exercícios sobre Geometria Analítica e Soluções

Solução da Lista de Atividades

1)  Determine o ponto médio entre A=(-4,1) e B=(-2,5).

Solução:

Na caixa de entrada, digite os pontos A e B. 

No 2º ícone da barra de ferramentas, escolha "Ponto Médio ou Centro".

Na Janela de Visualização ou na Janela de Álgebra, clique no ponto A e, em seguida, no ponto B (pode ser em B e depois em A).

Verifique que aparecerá na Janela de Visualização e na Janela de Álgebra a seguinte solução: C=(-3,3).

2)  Divida o segmento AB em 5 partes iguais, dados A=(-3,5) e B=(2,-5).

Solução:

Na caixa de entrada, digite os pontos A e B.

No 9º ícone da barra de ferramentas, escolha "Homotetia dados Centro e Razão".

Clique no ponto A e, em seguida, no ponto B (a ordem aqui é muito importante). Aparecerá uma caixa para digitar a fração em que os pontos que dividirão AB aparecerão a partir do último ponto clicado (neste caso foi B). Digite 1/5 e tecle <ENTER>.

Repita o procedimento para os próximos pontos. Assim:  

- Clique no ponto A e, em seguida, no ponto B. Digite 2/5.

- Clique no ponto A e, em seguida, no ponto B. Digite 3/5.

- Clique no ponto A e, em seguida, no ponto B. Digite 4/5.

Verifique que aparecerá na Janela de Visualização a solução, que são os pontos: (1,-3); (0,-1); (-1,1); (-2,3).

3)  Encontre o ponto de interseção entre as retas (r) 3x-2y=7 e (s) 2x+5y=11.

Solução:

Na caixa de entrada, digite as equações da retas r e s (para nomear, digite r:3x-2y=7..., ou então, após digitar a equação na caixa de Entrada, clique com o botão direito e escolha "renomear" r, porque o default é a)

No 2º ícone da barra de ferramentas, escolha "Interseção de Dois Objetos". Clique na reta r e em seguida na reta s. Ou então, na Janela de Visualização, aponte o cursor para o ponto de interseção e verifique que as duas retas ficarão mais escuras. Clique neste ponto e ele aparecerá.

Verifique que aparecerá na Janela de Visualização e na Janela de Álgebra a seguinte solução: A=(3,1).

4)  Determine a equação reduzida da reta (s) 2x+y=5.

Solução:

Na caixa de entrada, digite a equação da reta s. 

Na janela de álgebra, clique com o botão direito em cima da equação da reta s e escolha "Equação y=ax+b".

Verifique que aparecerá na Janela de Álgebra a equação reduzida: s: y=-2x+5.

5)  Determine a inclinação da reta formada pelos pontos A=(0,1) e B=(-3,4).

Solução:
Na caixa de entrada, digite os pontos A e B. 

Na caixa de entrada, digite "reta[A,B]", ou no 4º ícone da barra de ferramentas, escolha "Reta definida por Dois Pontos".

Na Janela de Álgebra ou na Janela de Visualização, clique no ponto A e, em seguida, no ponto B.

No 8º ícone da barra de ferramentas, escolha "Inclinação".

Verifique que aparecerá na Janela de Álgebra a seguinte solução: a1=-1 e na Janela de Visualização:

6)  Determine a distância entre os pontos A=(2,4) e B=(6,1).
Solução:
Na caixa de entrada, digite os pontos A e B. 

No 8º ícone da barra de ferramentas, escolha "Distância, Comprimento ou Perímetro".

Verifique que aparecerá a solução na Janela de Álgebra e também na Janela de Visualização: d=5 (distânciaAB=5).

7)  Determine a distância entre o ponto A=(-2,3) e a reta (t) 2x+3y=-4.
Solução: 

Na caixa de entrada, digite os pontos A e a equação da reta t.

No 8º ícone da barra de ferramentas, escolha "Distância, Comprimento ou Perímetro".

Na Janela de Álgebra ou na Janela de Visualização, clique no ponto A e, em seguida, na reta t.

Verifique que aparecerá a solução na Janela de Álgebra e também na Janela de Visualização: d=2,5 (distânciaAt=2.5).

8)  Determine a área do ∆ABC, em que A=(-1,4), B=(1,0) e C=(3,6).
Solução:

Na caixa de entrada, digite os pontos A, B e C.

No 5º ícone da barra de ferramentas, escolha "Polígono".

Na janela de Álgebra ou na Janela de Visualização, clique nos pontos A, B, C e A (qualquer que seja o polígono, é sempre necessário voltar ao primeiro ponto para fechar o polígono).

Verifique que aparecerá automaticamente a solução na Janela de Álgebra: Area=10 (pol1=10).

9)  Verifique se os pontos A=(1,5), B=(3,2) e C=(6,-2) estão alinhados.

Solução:Na caixa de entrada, digite os pontos A, B e C.

No 5º ícone da barra de ferramentas, escolha "Polígono".

Na janela de Álgebra ou na Janela de Visualização, clique no ponto A, B, C e A novamente.

Verifique que, na janela de Álgebra, aparece uma área diferente de zero, o que mostra que os pontos não estão alinhados (pol1=0.5).

10)   Dado ∆ABC, em que A=(-3,1), B=(1,6) e C=(4,-2), determine a altura relativa ao vértice A.

Solução:

Na caixa de entrada, digite os pontos A, B e C.

No 3º ícone da barra de ferramentas, escolha "Segmento definido por Dois Pontos" e clique em B e, em seguida, em C, ou digite "segmento[B,C]" na caixa de Entrada.

No 8º ícone da barra de ferramentas, escolha "Distância, Comprimento ou Perímetro".

Clique no ponto A e, em seguida, no segmento BC.

Verifique que aparecerá a solução na Janela de Álgebra e também na Janela de Visualização: d=5,5 (distânciaAa=5.5).

11)   Determine a área do triângulo formado pelos pontos A=(2,3), B=(4,5) e C=(6,2).
Solução:

Na caixa de entrada, digite os pontos A, B e C.

No 5º ícone da barra de ferramentas, escolha "Polígono".

Na Janela de Visualização ou na Janela de Álgebra, clique no ponto A, B, C e A novamente.

Verifique que aparecerá a solução na Janela de Álgebra e também na Janela de Visualização: Área=5 (pol1=5).

12)   Dados os pontos A=(-1,3), B=(2,1) e C=(-1,-2), determine a equação geral da reta s que passa por C e é paralela à reta AB.

Solução:

Na caixa de entrada, digite os pontos A, B e C.

No 3º ícone da barra de ferramentas, escolha "Reta definida por Dois Pontos", ou digite "reta[A,B]" na caixa de entrada.

No 4º ícone da barra de ferramentas, escolha "Reta Paralela".

Clique na reta AB e, em seguida, no ponto C.

Na Janela de Álgebra, verifique a resposta: s: -2x-3y=8

13)   Dado o ponto P=(3,2) e a reta (r) 3x+6y=1, encontre a equação reduzida da reta t que passa por P e é perpendicular a r.

Solução:

Na caixa de entrada, digite o Ponto P e a equação da reta r.

No 4º ícone da barra de ferramentas, escolha "Reta Perpendicular".

Clique no ponto P e, em seguida, na reta r.

Na Janela de Álgebra, clique com o botão direito na equação da reta t ou na Janela de Visualização, clique em cima da reta e escolha: "Equação y=ax+b".
Na Janela de Álgebra, verifique que aparecerá a resposta: t: y=2x-4.

14)   Determine o ângulo agudo formado pelas retas (r) 7x+2y=7 e (t) 2x-7y=5.

Solução:

Na caixa de entrada, digite as equações das retas r e s.

No 8º ícone da barra de ferramentas, escolha "Ângulo".

Na Janela de Álgebra ou na Janela de Visualização, clique na reta r e, em seguida, na reta s.

Verifique que o Geogebra dá o ângulo obtuso. Tirando 270º de 360º, obtemos a solução: 90º.

15)   Determine a medida da mediana do ∆ABC, em que A=(-3,-2), B=(1,6) e C=(4,-2), em relação ao vértice C.

Solução:

Na caixa de entrada, digite os pontos A, B e C.

Sabendo a definição de mediana, não é necessário desenhar o triângulo para dar a resposta.

No 2º ícone da barra de ferramentas, escolha "Ponto Médio ou Centro". 

Clique no ponto A e, em seguida, no ponto B. Verifique que aparecerá o ponto médio D.

No 8º ícone da barra de ferramentas, escolha "Distância, Comprimento ou Perímetro".

Clique no ponto C e, em seguida, no ponto D.

Verifique que aparecerá a solução na Janela de Álgebra e também na Janela de Visualização: d=6,4 (distânciaCD=6.4). 

16)   Dado ∆ABC, em que A=(3,2), B=(-3,0) e C=(1,4), determine a equação reduzida da mediatriz t do lado  AB.
Solução:

Na caixa de entrada, digite os pontos A, B e C.

No 5º ícone da barra de ferramentas, escolha "Polígono".

Na Janela de Visualização ou na Janela de Álgebra, clique no ponto A, B, C e A novamente.

No 2º ícone da barra de ferramentas, escolha "Ponto Médio ou Centro". 

Na Janela de Visualização ou na Janela de Álgebra, clique no ponto A e, em seguida, no ponto B.

No 4º ícone da barra de ferramentas, escolha "Reta Perpendicular".

Na Janela de Visualização ou na Janela de Álgebra, clique no segmento AB e, em seguida, no ponto D.

Clique na equação da reta t na Janela de Álgebra ou na Janela de Visualização com o botão direito.

Na janela de Álgebra, verifique a resposta: t: y=-3x+1.

17)   Determine o baricentro do ∆ABC, em que A=(-3,6), B=(-3,-4) e C=(3,4).

Solução:

Na caixa de entrada, digite os pontos A, B e C.

No 2º ícone da barra de ferramentas, escolha "Ponto Médio ou Centro". 

Na Janela de Visualização ou na Janela de Álgebra, clique no ponto A e, em seguida, no ponto B. Verifique que aparecerá o ponto médio D.

Na Janela de Visualização ou na Janela de Álgebra, clique no ponto A e, em seguida, no ponto C. Verifique que aparecerá o ponto médio E.

No 3º ícone da barra de ferramentas, escolha "Segmento definido por Dois Pontos" e clique em C e D, ou digite "segmento[C,D]" na caixa de entrada.

No 3º ícone da barra de ferramentas, escolha "Segmento definido por Dois Pontos" e clique em B e E, ou digite "segmento[B,E]" na caixa de entrada.

No 2º ícone da barra de ferramentas, escolha "Interseção de Dois Objetos". Clique no segmento CD e no segmento BE. Ou então, na Janela de Visualização, aponte o cursor para o ponto de interseção e verifique que os dois segmentos ficarão mais escuros. Clique neste ponto e ele aparecerá.

Verifique que aparecerá na Janela de Visualização e na Janela de Álgebra a seguinte solução: F=(-1,2).

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OBS.: Sabendo a definição de baricentro, não é necessário desenhar o triângulo para dar a resposta. Basta acharmos os pontos médios de dois lados, traçarmos dois segmentos unindo um vértice ao ponto médio do lado oposto (mediana) e acharmos a interseção (com apenas duas medianas).

18)   Determine o circuncentro do ∆ABC, em que A=(3,2), B=(-3,0) e C=(1,4).
Solução:

Na caixa de entrada, digite os pontos A, B e C.

No 4º ícone da barra de ferramentas, escolha "Mediatriz".

 

Na Janela de Visualização ou na Janela de Álgebra, clique no ponto A e, em seguida, no ponto B.

Repita o procedimento anterior para os pontos A e C.

No 2º ícone da barra de ferramentas, escolha "Interseção de Dois Objetos".

Clique nas duas mediatrizes.

Verifique que o circuncentro é o ponto D(0,1).

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

OBS.: Sabendo a definição de circuncentro, não é necessário desenhar o triângulo para dar a resposta.

19)   Determine o incentro do ∆ABC, em que A=(-3,-3), B=(-3,0) e C=(1,0).
Solução:

Na caixa de entrada, digite os pontos A, B e C.

No 5º ícone da barra de ferramentas, escolha "Polígono".

Na Janela de Visualização ou na Janela de Álgebra, clique no ponto A, B, C e A novamente.

No 4º ícone da barra de ferramentas, escolha "Bissetriz".

Na Janela de Visualização ou na Janela de Álgebra, clique nos lados AB e AC.

Na Janela de Visualização ou na Janela de Álgebra, clique nos lados AC e BC.

No 2º ícone da barra de ferramentas, escolha "Interseção de Dois Objetos". Clique na bissetriz do vértice A e na bissetriz do vértice C.

Verifique que o incentro é o ponto D(-2,-1).

20)   Determine o ortocentro do ∆ABC, em que A=(1,2), B=(-3,0) e C=(-3,4).
Solução:

Na caixa de entrada, digite os pontos A, B e C.

No 5º ícone da barra de ferramentas, escolha "Polígono".

Na Janela de Visualização ou na Janela de Álgebra, clique no ponto A, B, C e A novamente.

No 4º ícone da barra de ferramentas, escolha "Reta Perpendicular".

Na Janela de Visualização ou na Janela de Álgebra, clique na reta AC e, em seguida, no ponto B.

Na Janela de Visualização ou na Janela de Álgebra, clique na reta BC e, em seguida, no ponto A.

Verifique que o ortocentro é o ponto D(-2,2).

21)   Seja (c) (x-2)²+(y-2)²=4, determine a equação da reta secante s que passa pelo ponto P=(3,y) e pelo centro de c.
Solução:

Na caixa de entrada, digite o ponto P e a equação da circunferência c.

Digite a equação da circunferência assim: c:(x-2)^²+(y-2)^²=4 ou então na caixa de entrada de comandos digite as informações da circunferência neste formato: Círculo[<Centro>, <Medida do Raio> ] que fica assim: Círculo[(2,2),2].

Verifique que são duas as secantes e suas equações estão na Janela de Álgebra.

22)   Determine as equações das retas r e s tangentes à circunferência (c) (x+1)²+(y-1)²=4 nos pontos de interseção de c com o eixo das ordenadas.
Solução:

Na caixa de entrada, digite a equação da circunferência c.

Verifique as equações na Janela de Álgebra.

23)   Verifique a posição entre as circunferências c₁ e c₂, sabendo que (c₁) (x-1)²+(y-3)²=4 e (c₂) (x-4)²+(y-3)²=9.
Solução:

Na caixa de entrada, digite as equações das circunferências c₁ e c₂.

Verifique que as circunferências são secantes.

24)   Determine a equação da circunferência c1 com centro C₁=(-1,1) tangente à 

(c₂) (x+2)²+(y-1)²=4.

Solução:

Na caixa de entrada, digite a equação da circunferência c₂.

Verifique que há duas possibilidades de circunferências tangentes: uma interna e outra externa. Na Janela de Álgebra, verifique as soluções:
c1₁:(x+1)²+(y-1)²=9 e c1₂:(x+1)²+(y-1)²=1.

25)   Verifique a posição entre as circunferências c₁ e c₂, sabendo que (c₁) x²+(y-1)²=4 e 

(c₂) (x+3)²+(y+1)²=1.

Solução:

Na caixa de entrada, digite as equações das circunferências c₁ e c₂.

Verifique a solução na Janela de Visualização: exteriores.

26)   Verifique a posição entre as circunferências c₁ e c₂, sabendo que (c₁) (x+2)²+y²=9 e 

(c₂) (x+2)²+y²=1.

Solução:

Na caixa de entrada, digite as equações das circunferências c₁ e c₂.

Verifique a solução na Janela de Visualização: Concêntricas (uma dentro da outra).

27)   Verifique a posição entre as circunferências c₁ e c₂, sabendo que (c₁) (x-1)²+(y-2)²=9 e (c₂) x²+(y-2)²=1.
Solução:

Na caixa de entrada, digite as equações das circunferências c₁ e c₂.

Verifique a solução na Janela de Visualização: uma dentro da outra.