Resolvendo raízes através da fatoração

Apenas quando se tratar de raiz quadrada (índice 2) podemos deixar o espaço destinado ao índice em branco. O índice da fração indica quantas vezes é necessário multiplicar o número da potência por si mesmo até obter o valor do radicando. Por exemplo:

Exemplos de radiciações com índices 2, 3 e 4

Ao lidar com radicandos maiores, podem surgir dúvidas, pois o valor da raiz não aparecerá tão facilmente. Para situações como essas, devemos utilizar o processo de fatoração para obter a raiz. Vale lembrar que na fatoração há um número que deve ser dividido pelo menor número primo possível sucessivas vezes até que o quociente seja um. Vejamos como encontrar a raiz quadrada de 729:

Passo a passo da fatoração de 729

Nessa fatoração, começamos com o número do radicando, o 729, à esquerda. À direita, colocamos o menor primo que o dividirá. Novamente, à esquerda, coloca-se o número do quociente da divisão e repete-se esse processo até que o quociente seja 1. Como estamos procurando o resultado de uma raiz cujo índice é 2, agrupamos os números da direita em potências de expoente 2. Em seguida, colocamos essa multiplicação de potências dentro do radical, e aqueles números cujo o expoente é o mesmo do índice da raiz podem sair do radical sem o expoente. Vejamos outros exemplos:

Exemplos de radiciações através da fatoração

Radiciação

A radiciação é a operação inversa da potenciação. É muito utilizada na obtenção de solução de equações e na simplificação de expressões aritméticas e algébricas. Vamos definir essa operação e analisar suas propriedades.
Dados um número real não negativo x e um número natural n ≥ 1, chama-se raiz enésima de x o número real não negativo y tal que yⁿ = x. O símbolo utilizado para representar a raiz enésima de x é  e é chamado de radical. Nesse símbolo, x é o radicando e n é o índice.

Pela definição de radiciação, temos que:

Exemplo 1.

Propriedades da radiciação.

Exemplo 2. Simplifique a expressão

Exemplo 3. Racionalize as seguintes frações:
Racionalizar a fração é fazer com que no denominador não exista uma raiz enésima de um número.

Exemplo 4. Verifique as propriedades da radiciação.

Exemplo 5. Obtenha a forma mais reduzida possível da expressão:

Solução: Podemos reescrever cada uma das raízes utilizando as propriedades da radiciação.

Potenciação

Definição

Dado um certo número real qualquer, e um número n, inteiro e positivo, é definido iⁿ = potência de base (i) e com expoente (n) como sendo o produto de n fatores iguais a (i).

Exemplos de fixação da definição:

Potência = 2³
2 x  2 x  2 = ( 03 fatores) = 8

Potência = 3⁵
3 x 3 x 3 x 3 x 3  = (05 fatores) = 243

Notação:  2³ = 8
                        2 - BASE
                        3 - EXPOENTE
                        8 - POTÊNCIA

Notação: 3⁵ = 243
                       3 - BASE
                       5 - EXPOENTE
                       243 - POTÊNCIA

Alguns casos particulares:

1) Expoente igual a um (1)

(1/2)¹ = 1/2
5¹ = 5
³¹ = 3

2) Expoente igual à zero (0)

5⁰ = 1
6⁰ = 1
7⁰ = 1

Por convenção, resolveu-se que toda número elevado ao número zero, o resultado será igual a 1.

Mais Exemplos de fixação da definição:

1) 5³ = 5 x 5 x 5 = 125
2) 4⁰ = 1
3) 10⁰ = 1
4) 20¹ = 20

Propriedades de Potências

- Divisão de potência de mesma base

Na operação de divisão de potências de mesma base, é conservada a base comum e subtraem-se os expoentes conforme a ordem o qual eles aparecem no problema.

Exemplos de fixação:

1) 2⁴   ÷ 2 =  2^4-1  = 2³
2) 3⁵   ÷ 3² =  3^5-2  = 3²
3) 4⁶   ÷ 4³ =  4^6-3  = 4³

Temos então:  I^m ÷ Iⁿ = Im-n  , I#0

- Produto de potência de mesma base

Na operação de multiplicação entre potências de mesma base, é conservada a base comum e somam-se os expoentes em qualquer ordem dada no problema.

Exemplos de fixação:

1) 2⁴  x 2 =  2⁴⁺¹  = 2⁵
2) 3⁵   x 3² =  3⁵⁺²  = 3⁷
3) 4⁶   x 4³ =  4⁶⁺³  = 4⁹

Temos então:  I^m x Iⁿ = I^m+n

- Potência de Potência

Podemos elevar uma potência a outra potência. Para se efetuar este cálculo conserva-se a base comum e multiplicam-se os expoentes respectivos.

Exemplos de fixação:

1) (2³)⁴   =  2¹²  , pois = 2³  x 2³  x 2³ x 2³
2) (3²)³   =  3⁶  , pois = 3²  x 3²  x 3²
3) (4²)⁵   =  4¹⁰  , pois = 4²  x 4²  x 4² x 4² x 4²

Temos então:  (Iⁿ)^m   = I^nxm

- Potência de um produto

Para se efetuar esta operação de potência de um produto, podemos elevar cada fator a esta potência.

Exemplos de fixação:

1) (b⁵ya³ )⁴   =  b²⁰y⁴a¹²
2) (c²d²e⁵ )²   =  c⁴d⁴e¹⁰
3) (d³a⁴ )³   =  d⁹a¹²

Temos então:  (I.T)^m   = I ^m x T ^m

- Potência com expoente negativo

Toda e qualquer potência que tenha expoente negativo é equivalente a uma fração o qual o numerador é a unidade positiva e o denominador é a mesma potência, porém apresentando o expoente positivo.

Exemplos de fixação:

1) 2^-4   =  1/2⁴   = 1/16
2) 3^-3   =  1/3³   = 1/27
3) 4^-2   =  1/4²   = 1/16

Temos então:  (I)^-m   = 1/I ^m I#0

- Potência de fração

Para se efetuar o cálculo deste tipo de fração, eleva-se o numerador e denominador, respectivamente, a esta potência.

1) (a/b)⁴   =  a⁴/b⁴   = b#0
2) (a² /b⁴)³   =  a⁶/b¹²   = b#0
3) (a³ /b²)³   =  a⁹/b⁶   = b#0

Temos então:  (a/b)^m   = a^m/b^m   b #0

- Potência de 10

Todas as potências de 10 têm a função de facilitar o cálculo de várias expressões. Para isto guarde bem estas técnicas :

1) Para se elevar 10ⁿ (N>0), basta somente escrever a quantidade de zeros da potência a direito do número 1.

Exemplos de fixação:

a) 10⁴ = 10000
b) 10⁶ = 1000000
c) 10⁷ = 10000000

2) Para se elevar 10-n (N>0), basta somente escrever a quantidade de zeros da potência a esquerda do número 1, colocando a vírgula depois do primeiro zero que se escreveu.

Exemplos de fixação:

a) 10-4 = 0,0001
b) 10-6 = 0,000001
c) 10-7 = 0,0000001

3) Decompondo números em potências de 10

Exemplos de fixação (números maiores que 1):

a) 300 = 3.100 = 3.10²
b) 7000 = 7.1000 = 7.10³
c) 10.000 = 1.10000 = 1.10⁴

Exemplos de fixação (números menores que 1):

a) 0,004 = 4.0,001 = 4.10^-3
b) 0,0008 = 8.0,0001 = 8.10^-4
c) 0,00009 = 9.0,00001 = 9.10^-5

- Potência de números relativos

a) Caso o expoente seja par o resultado dará sempre positivo.

Veja: (+2)² = 4  / / (-2)⁴   = 16

b) Caso o expoente seja impar, o resultado trará sempre o sinal da base da potência.

Veja: (+3)³ = 27  / / (-3)³   = -27

Observação importante: -2²   # (-2) ²  , pois -2²   = -4 e (-2) ²  = 4. A diferença está que na primeira potência apenas o número 2 está elevado ao quadrado, enquanto que na segunda o sinal e o número 2 estão elevados ao quadrado, tornando o resultado, então, positivo, conforme colocado.

Torre de Hanói

História e Lenda

A torre de Hanói, também conhecida por torre de bramanismo ou quebra-cabeças do fim do mundo, foi inventada e vendida como brinquedo, no ano de 1883, pelo matemático francês Edouard Lucas. Segundo ele, o jogo que era popular na China e no Japão veio do Vietnã. O matemático foi inspirado por uma lenda Hindu, a qual falava de um templo em Benares, cidade Santa da Índia, onde existia uma torre sagrada do bramanismo, cuja função era melhorar a disciplina mental dos jovens monges. De acordo com a lenda, no grande templo de Benares, debaixo da cúpula que marca o centro do mundo, há uma placa de bronze sobre a qual estão fixadas três hastes de diamante. Em uma dessas hastes, o deus Brama, no momento da criação do mundo, colocou 64 discos de ouro puro, de forma que o disco maior ficasse sobre a placa de bronze e os outros decrescendo até chegar ao topo. A atribuição que os monges receberam foi de transferir a torre formada pelos discos, de uma haste para outra, usando a terceira como auxiliar com as restrições de movimentar um disco por vez e de nunca colocar um disco maior sobre um menor. Os monges deveriam trabalhar com eficiência noite e dia e, quando terminassem o trabalho, o templo seria transformado em pó e o mundo acabaria. O desaparecimento do mundo pode ser discutido mas não há dúvida quanto ao desmoronamento do templo.

 
  

A Torre de Hanói é um quebra-cabeça composto por uma base contendo três hastes. Em uma das haste são dispostos um número de discos uns sobre os outros, em ordem crescente de diâmetro como mostra a figura abaixo.

O problema consiste em passar todos os discos de uma haste para uma das outras, de maneira que um disco maior não fique sobre um menor em nenhuma situação. O objetivo do jogo é conseguir passar todos os discos de uma haste para outra com a menor quantidade de movimentos possíveis.

 

Veja a seguir como podemos encontrar uma fórmula geral para uma partida envolvendo n discos.

·         n = 1 (1 disco)

1 movimento é suficiente

 

 

·         n = 2 (2 discos)

3 movimentos são suficientes.

 

 

 

·         n= 3 (3 discos)

Ilustrado na imagem acima e são suficientes 7 movimentos.

              

 Veja a na tabela a seguir a generalização da resolução de uma torre de Hanói com n discos.

 

        

 

Portanto, a função que calcula o número de movimentos em função do número de discos é dada por:

.

 

 

Frases matemáticas

 "A Matemática apresenta invenções tão sutis que poderão servir não só para satisfazer os curiosos como, também para auxiliar as artes e poupar trabalho aos homens."(Descartes)

" A Matemática, quando a compreendemos bem, possui não somente a verdade, mas também a suprema beleza." (Bertrand Russel)

" Na maior parte das ciências, uma geração põe abaixo o que a outra construiu, e o que a outra estabeleceu a outra desfaz. Somente na Matemática é que cada geração constrói um novo andar sobre a antiga estrutura." (Hermann Hankel)

"A geometria é uma ciência de todas as espécies possíveis de espaços." (Kant)

"Os números governam o mundo." (Platão)

"A Geometria faz com que possamos adquirir o hábito de raciocinar, e esse hábito pode ser empregado, então, na pesquisa da verdade e ajudar-nos na vida." (Jacques Bernoulli)

"O livro da natureza foi escrito exclusivamente com figuras e símbolos matemáticos." (Galileu)

"A natureza está escrita em linguagem matemática."(Galileu)

"Para Tales... a questão primordial não era o que sabemos, mas como sabemos." (Aristóteles)

"O abandono da Matemática traz dano a todo o conhecimento, pois aquele que a ignora não pode conhecer as outras ciências ou as coisas do mundo." (Roger Bacon)

"As abelhas, em virtude de uma certa intuição geométrica, sabem que o hexágono é maior que o quadrado e o triângulo, e conterá mais mel com o mesmo gasto de material." (Papus de Alexandria)

"Para criar uma filosofia só é preciso renunciar à metafísica e tornar-se apenas um bom matemático." (Bertrand Russel)

"Aquele que deseja estudar ou exercer a Magia deve cultivar a Matemática." (Matila Ghyka)

"Matemática - a inabalável base das ciências e a abundante Fonte do Progresso nos negócios humanos." (Barrow)

"O orgulho no ofício obriga os matemáticos de uma geração a desembaraçar-se do trabalho inacabado dos seus antecessores." (E. T. Bell)