Equações Fracionárias

Já está disponível no link conteúdos alguns exemplos de equações fracionárias.

Bom estudo!

Alunos da 8.º B

Fazer os exercícios da pág. 57 do número 21 ao 27.
Na próxima aula vistarei os cadernos.

Obrigado,

Prof. Alexandre.

Lembre-se sem esforço não há aprendizado.

Alunos da 8.º A e 8.º C

Fazer os exercícios da pág.65 do livro.
Do exercício 39 ao 47.

Na próxima aula irei vistar os cadernos e corrigir na lousa.


Obrigado,

Professor Alexandre.

A História de Bhaskara

Bhaskara viveu de 1114 a 1185 aproximadamente, na India.

Nascido numa tradicional família de astrólogos indianos, seguiu a tradição profissional da família, porém com uma orientação científica, dedicando-se mais à parte matemática e astronômica ( tais como o cálculo do dia e hora da ocorrência de eclipses ou das posições e conjunções dos planetas ) que dá sustentação à Astrologia.
Seus méritos foram logo reconhecidos e muito cedo atingiu o posto de diretor do Observatório de Ujjain, o maior centro de pesquisas matemáticas e astronômicas da India, na época.
Seu livro mais famoso é o Lilavati, um livro bem elementar e dedicado a problemas simples de Aritmética, Geometria Plana (medidas e trigonometria elementar ) e Combinatória. A palavra Lilavati é um nome próprio de mulher (a tradução é Graciosa), e a razão de ter dado esse título a seu livro é porque, provavelmente, teria desejado fazer um trocadilho comparando a elegância de uma mulher da nobreza com a elegância dos métodos da Aritmética. Numa tradução turca desse livro, 400 anos depois, foi inventada a história de que o livro seria uma homenagem à filha que não pode se casar. Justamente essa invenção é que tornou-o famoso entre as pessoas de pouco conhecimento de Matemática e de História da Matemática. Parece, também, que os professores estão muito dispostos a aceitarem estórias românticas em uma área tão abstrata e difícil como a Matemática; isso parece humanizá-la mais.

Ele escreveu dois livros matematicamente importantes e devido a isso tornou-se o matemático mais famoso de sua época. Esses livros são:

Equações INDETERMINADAS ou diofantinas:
chamamos assim às equações (polinomiais e de coeficientes inteiros) com infinitas soluções inteiras, como é o caso de:

• y - x = 1 que aceita todos os x = a e y = a + 1 como soluções , qualquer que seja o valor de a.
• a famosa equação de Pell x² = N y² + 1
  Bhaskara foi o primeiro a ter sucesso na resolução dessa equação, para isso introduzindo o método do chakravala (ou pulverizador).

Mas, e a fórmula é de Bhaskara ?

• EXEMPLO:
  para resolver as equações quadráticas da forma ax² + bx = c, os indianos usavam a seguinte regra:
  "multiplique ambos os membros da equação pelo número que vale quatro vezes o coeficiente do quadrado e some a eles um número igual ao quadrado do coeficiente original da incógnita. A solução desejada é a raiz quadrada disso."

É também muito importante observar que a falta de uma notação algébrica, bem como o uso de métodos geométricos para deduzir as regras, faziam os matemáticos da Era das Regras terem de usar varias regras para resolver equações do segundo grau. Por exemplo, precisavam de regras diferentes para resolver x² = px + q e x² + px = q. Foi só na Era das Fórmulas que iniciaram as tentativas de dar um procedimento único para resolver todas as equações de um grau dado.
Bhaskara conhecia a regra acima, porém, a regra não foi descoberta por ele. A regra já era do conhecimento de, no mínimo, o matemático Sridara, que viveu há mais de 100 anos antes de Bhaskara.

Resumindo o envolvimento de Bhaskara com equações do segundo grau

• Quanto a equações DETERMINADAS do segundo grau:
  No Lilavati, Bhaskara não trata de equações quadráticas determinadas e o que ele faz sobre isso no Bijaganita é mera cópia do que já tinham escrito outros matemáticos.
• Quanto a equações INDETERMINADAS do segundo grau:
  Aí ele realmente fez grandes contribuições e essas estão expostas no Bijaganita. Pode-se dizer que essas contribuições, principalmente a invenção do método iterativo do chakravala e sua modificação do clássico método kuttaka correspondem ao ápice da matemática indiana clássica, podendo-se acrescentar que é somente com Euler e Lagrange que voltaremos a encontrar desenvoltura técnica e fertilidade de ideias de porte comparáveis.

Relações de Girard ( Soma e Produto)

Relação de Girard (Soma e Produto)

Exercícios de Fixação

Segue uma lista de exercícios referente a equação do 2.º grau.

Peço que faça os exercícios e as dúvidas serão explicadas na aula.

A lista está disponível no menu lateral do blog.

Lilavati (Filha de Bhaskara)

O mais importante matemático hindu do século XII foi Bhaskara. Sua obra mais conhecida chama-se Lilavati que quer dizer graciosa.

Lilavati? Mas que título estranho...

Lilavati era o nome da filha de Bhaskara. Mas por que um matemático iria colocar na sua obra mais importante o nome de sua filha? Eu vou lhes contar....


Bhaskara Akaria era fanático por astrologia. Acreditava plenamente nas predições astrológicas. Os astrólogos previram que lilavati só poderia se casar em determinada hora de determinado dia. O dia chegou e a jovem, muito ansiosa, observava o relógio de água, colocando numa vasilha com água e que deveria marcar a hora mais propícia para o casamento.


O relógio de água tem no fundo um orifício por onde penetra a água. Quando todo o relógio estivesse submerso, chegaria o momento de se casar.


Acontece que, ao se debruçar sobre o relógio, Lilavati não se dera conta de que uma pequena pérola de seu vestido havia se desprendido e tapado o orifício do relógio, impedindo a entrada da água. Com isso o relógio não afundou.


Mais tarde, o incidente foi descoberto, mas a hora propícia para o casamento havia se passado, e o noivo, com medo de maus presságios, havia fugido. Lilavati não se casou. O pai, para consolá-la, prometeu perpetuar o seu nome, dando a um de seus livros o título: Lilavati.

Essa é a história do nome desse livro. Verdadeira ou não, foi assim que me contaram.

História das Equações do 2.º Grau

A resolução de problemas com equações do segundo grau aparece tanto nos babilónicos, como nos egípcios, como nos gregos. No entanto, um nome ficou eternamente ligado à resolução de equações do segundo grau - Muhammad Ibn Musa Al-Khwarizmi. Matemático que viveu no século IX, a sua importância é impressionante. Tendo trabalhado na biblioteca de Bagdá, denominada de Casa da Ciência ou Casa da Sabedoria, traduziu para o árabe obras matemáticas provenientes, sobretudo, da Grécia e da Índia. Um dos mais importantes, se não o mais, feitos de Al-Khwarizmi, foi a criação de uma obra sobre o sistema numérico hindu, conhecido atualmente por sistema de numeração decimal indo-arábico, obra essa imprescindível para a divulgação e adoção do nosso sistema numérico atual. Por outro lado, o seu nome é, provavelmente, a raiz da palavra logaritmo, algoritmo e algarismo. Também algumas das expressões por si utilizadas derivaram em palavras como álgebra, ou na utilização corrente da letra x para representar a incógnita de uma equação. Mas, esquecendo a enorme quantidade de fatos pelos quais devemos estar agradecidos a este personagem histórico, vamos nos concentrar, única e exclusivamente, no seu papel na história da resolução de equações do 2º grau.

Nota: o Corão prescreve uma certa lei para as heranças, em que a sua repartição é feita de acordo com o sexo e a idade dos herdeiros. Para tal repartição é necessário saber calcular quantidades e proporções que obrigam à resolução de equações do 2º grau. Este fato terá sido da maior importância como impulsionador de estudo de tais equações.

Relativamente às equações do 2º grau, devemos saber que, até Al-Khwarizmi, a resolução de equações do 2º grau era, quase exclusivamente, geométrica. Este matemático, desenvolveu formas algébricas de procura de soluções de equações, sendo estes procedimentos algébricos articulados com representações geométricas que justificavam raciocínios. O que nos proponho realizar, é compreender e utilizar os procedimentos de Al-Khwarizmi na resolução de equações do segundo grau, para os diferentes tipos destas. Quando referimos diferentes tipos de equação do 2º grau, não estamos a utilizar a tipologia atual. Vamos agora estudar cada tipo de equação do 2º grau estudada por Al-Khwarizmi e os seus procedimentos. Para o fazer torna-se, no entanto, necessário conhecer três termos inventados e utilizados por Al- hwarizmi:

    → AL-JABR: como para os árabes não existiam grandezas negativas e, portanto, não existiam números negativos, esta regra fazia-os desaparecer, restaurando-os. Assim, a aplicação desta regra consiste em adicionar a grandeza negativa em causa, mas com valor positivo, de forma a anular a grandeza negativa. Por exemplo, na equação:

6x² -17 -3x = 2x²- x -12

aplicando a regra, restauramos -3x e -17, obtendo a equação:

6x² = 2x²+2x+5

    → AL-MUQABALA: depois de aplicar a regra de al-jabr, aplica-se al-muqabala. O objetivo desta operação é obter uma equação com um termo de cada tipo. Para tal, confrontamos, contrapomos os dois termos da igualdade e reduzimos os termos semelhantes. Por exemplo, continuando com a equação anterior:

6x² = 2x²+2x+5

e aplicando a regra de al-muqabala, obtemos a equação:

4x²= 2x + 5

    → AL-RADD:  esta é a última regra a ser aplicada. O objetivo desta regra é transformar o coeficiente da incógnita com a mais alta potência em 1. Para tal, dividimos todos os termos da equação pelo coeficiente da mais alta potência. Por exemplo, continuando com a equação anterior:

4x²= 2x + 5

e aplicando a regra de al-radd, obtemos a equação:

x² = 1/2 x + 5/4 

Vamos agora resolver equações do tipo:

ax² = bx ;  ax² = c ;  ax² + bx = c ;   ax² + c = bx ;  ax² = bx+c         

        

Antes de experimentar cada tipo de equação, chamo a atenção para dois pormenores: vamos utilizar simbologia atual nestes processos de resolução. No entanto, lembra-te que Al-Khwarizmi não dispunha da simbologia atual. O problema e a sua resolução eram apresentados de forma descritiva. Por outro lado, os parâmetros de cada tipo de equação, nomeadamente, e, são sempre valores positivos. Por este fato, Al-Khwarizmi não considerava equações do tipo, pois tais equações não tinham "lógica", visto que três quantidades juntas não podem ser igual a zero.

Planejamento do 2.º semestre concluído

Fazer o download do planejamento do 2.º semestre.


Grato,


Professor Alexandre.