História das Equações do 2.º Grau

A resolução de problemas com equações do segundo grau aparece tanto nos babilónicos, como nos egípcios, como nos gregos. No entanto, um nome ficou eternamente ligado à resolução de equações do segundo grau - Muhammad Ibn Musa Al-Khwarizmi. Matemático que viveu no século IX, a sua importância é impressionante. Tendo trabalhado na biblioteca de Bagdá, denominada de Casa da Ciência ou Casa da Sabedoria, traduziu para o árabe obras matemáticas provenientes, sobretudo, da Grécia e da Índia. Um dos mais importantes, se não o mais, feitos de Al-Khwarizmi, foi a criação de uma obra sobre o sistema numérico hindu, conhecido atualmente por sistema de numeração decimal indo-arábico, obra essa imprescindível para a divulgação e adoção do nosso sistema numérico atual. Por outro lado, o seu nome é, provavelmente, a raiz da palavra logaritmo, algoritmo e algarismo. Também algumas das expressões por si utilizadas derivaram em palavras como álgebra, ou na utilização corrente da letra x para representar a incógnita de uma equação. Mas, esquecendo a enorme quantidade de fatos pelos quais devemos estar agradecidos a este personagem histórico, vamos nos concentrar, única e exclusivamente, no seu papel na história da resolução de equações do 2º grau.

Nota: o Corão prescreve uma certa lei para as heranças, em que a sua repartição é feita de acordo com o sexo e a idade dos herdeiros. Para tal repartição é necessário saber calcular quantidades e proporções que obrigam à resolução de equações do 2º grau. Este fato terá sido da maior importância como impulsionador de estudo de tais equações.

Relativamente às equações do 2º grau, devemos saber que, até Al-Khwarizmi, a resolução de equações do 2º grau era, quase exclusivamente, geométrica. Este matemático, desenvolveu formas algébricas de procura de soluções de equações, sendo estes procedimentos algébricos articulados com representações geométricas que justificavam raciocínios. O que nos proponho realizar, é compreender e utilizar os procedimentos de Al-Khwarizmi na resolução de equações do segundo grau, para os diferentes tipos destas. Quando referimos diferentes tipos de equação do 2º grau, não estamos a utilizar a tipologia atual. Vamos agora estudar cada tipo de equação do 2º grau estudada por Al-Khwarizmi e os seus procedimentos. Para o fazer torna-se, no entanto, necessário conhecer três termos inventados e utilizados por Al- hwarizmi:

    → AL-JABR: como para os árabes não existiam grandezas negativas e, portanto, não existiam números negativos, esta regra fazia-os desaparecer, restaurando-os. Assim, a aplicação desta regra consiste em adicionar a grandeza negativa em causa, mas com valor positivo, de forma a anular a grandeza negativa. Por exemplo, na equação:

6x² -17 -3x = 2x²- x -12

aplicando a regra, restauramos -3x e -17, obtendo a equação:

6x² = 2x²+2x+5

    → AL-MUQABALA: depois de aplicar a regra de al-jabr, aplica-se al-muqabala. O objetivo desta operação é obter uma equação com um termo de cada tipo. Para tal, confrontamos, contrapomos os dois termos da igualdade e reduzimos os termos semelhantes. Por exemplo, continuando com a equação anterior:

6x² = 2x²+2x+5

e aplicando a regra de al-muqabala, obtemos a equação:

4x²= 2x + 5

    → AL-RADD:  esta é a última regra a ser aplicada. O objetivo desta regra é transformar o coeficiente da incógnita com a mais alta potência em 1. Para tal, dividimos todos os termos da equação pelo coeficiente da mais alta potência. Por exemplo, continuando com a equação anterior:

4x²= 2x + 5

e aplicando a regra de al-radd, obtemos a equação:

x² = 1/2 x + 5/4 

Vamos agora resolver equações do tipo:

ax² = bx ;  ax² = c ;  ax² + bx = c ;   ax² + c = bx ;  ax² = bx+c         

        

Antes de experimentar cada tipo de equação, chamo a atenção para dois pormenores: vamos utilizar simbologia atual nestes processos de resolução. No entanto, lembra-te que Al-Khwarizmi não dispunha da simbologia atual. O problema e a sua resolução eram apresentados de forma descritiva. Por outro lado, os parâmetros de cada tipo de equação, nomeadamente, e, são sempre valores positivos. Por este fato, Al-Khwarizmi não considerava equações do tipo, pois tais equações não tinham "lógica", visto que três quantidades juntas não podem ser igual a zero.