Frações Contínuas (Próximo Conteúdo do Curso da 8.º A e B)

 

    Frações Contínuas

 

 Exemplos:

 

 

 

1) Vamos desenvolver 4/5 em fração contínua:

 

 

4/5 situa-se entre os números inteiros 0 e 1.

 

 

Dessa forma, podemos escrever:

 

4/5 = 0 + 1/x, sendo x >1

 

x = 5/4.

 

Observe porque:

 

 

4/5 = 0 + 1/x

 

4/5 = 1/x ==> multiplicando no formato de "x", temos:

 

4x = 5

 

x = 5/4.

 

Podemos escrever dessa forma:

 

4/5 = 0 + 1/(5/4) (I)

 

Observe porque:

 

=0 + 1/ (5/4)

 

= 0 + 1 . 4/5

 

= 0 +4/5

 

= 4/5.

 

E agora vamos escrever a última fração em uma soma de duas frações:

 

5/4 = 1 + 1 /4

 

Substituiremos 5/4 por 1 + 1/4 na igualdade I:

 

4/5 = 0 + 1/(1+1/4)  

 

 

2) Vamos desenvolver 7/6 em fração contínua:

 

1.º passo:

 

7/6 está entre 1 e 2, portanto 7/6 = 1 + 1/x, com x >1;

 

2.º passo:

 

7/6 = 1 + 1/x, portanto x = 6, ou seja, 7/6 = 1 + 1/6;

 

3.º passo:

 

 Como x = 6 ∈  ℤ , o processo está encerrado e a fração contínua do desenvolvimento de 7/6 é 7/6 = 1 + 1/6

 
Mais alguns exemplos:

3) 19/3 em fração contínua:

I) Está entre 6 e 7, portanto 19/3 = 6 + 1/x, com x>1;

Temos que encontrar um valor de x que somando 6 + 1/x = 19/3. Para resolver, fazemos desta maneira:

 

19/3 = 6+ 1/x

 19/3 - 6 = 1/x

1/3 = 1/x ==> fazemos a multiplicação em "x"

1x = 3

x=3

 

 

II) 19/3 = 6 + 1/ 3 ==> Resultado final, pois o número 3 é inteiro.

 

 

4) 16/7 em fração contínua:

 

I) Está entre 2 e 3, portanto, 16/7 = 2 + 1/x, com x> 1 .

Temos que encontrar o valor de x:

 

16/7 = 2 + 1/x

16/7 - 2 = 1/x

2/7 = 1/x

 

2x= 7

 

x= 7/2

 

II) Então temos:

16/7 = 2 + 1/(7/2), 7/2 não pertence aos inteiros, então temos que continuar;

 

III) 7/2 está entre 3 e 4, portanto 7/2 = 3 + 1/y, com y>1.

 

Vamos encontrar o valor de y:

 

7/2 = 3 + 1/y

7/2 - 3 = 1/y

1/2= 1/y

y = 2

 

IV) 16/7 = 2+(1/(3+1/2)), 2 é um número inteiro então processo encerrado.

 

A resposta é : 2 +(1/(3+1/2))