Professor Alexandre

quarta-feira, 19 de agosto de 2015

Desenho no Plano Cartesiano ( Atividade para 8.º séries)

Caros Alunos,

Segue alguns desenhos no plano cartesiano. Plote os pontos e descobrirá o desenho.

Click no link https://docs.google.com/file/d/0B7DeV8K6VL-uVjFnTjlwYVlKTzQ/edit?pli=1 para baixar e depois imprima as folhas com o plano cartesiano e os pontos.

terça-feira, 18 de agosto de 2015

Papel Milimetrado (8.º séries)

Caros Alunos,

Segue abaixo o link do papel milimetrado para download.
Papel Milimetrado .

Grato,

Professor Alexandre.

quarta-feira, 17 de junho de 2015

Matriz Transposta e Matriz Simétrica (2.º D)

Matriz Transposta

Considere uma matriz A =(aij)(m x n). A matriz transposta de A, representada por At, é uma matriz da forma At = (bji)(n x m), tal que:
bji = aij

Observe que a matriz A é de ordem m x n, enquanto At é de ordem n x m. Essa “inversão” das ordens das duas matrizes se deve ao fato de que para obter a transposta de A devemos “transformar” cada uma de suas linhas em colunas. De forma simples, é isso o que diz a definição de transposta de uma matriz.

Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1. Determine a matriz transposta de cada uma das seguintes matrizes.

Solução: Para obter a transposta de A, basta “transformar” cada uma de suas linhas em colunas. Assim, teremos:

Solução: “Transformando” linha em coluna, obtemos:

Solução: Nesse caso, teremos:

Solução: “Transformando” as linhas em coluna, obtemos:

Matriz Simétrica

Dizemos que uma matriz quadrada A de ordem n é simétrica quando ela for igual à sua transposta. Ou seja, A é denominada simétrica se:

A = At

Observe que somente matrizes quadradas podem ser simétricas.

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 2. Determine a transposta de cada matriz a seguir:

Solução: A transposta de M será obtida “transformando” cada linha de M em coluna. Assim, teremos:

Como M = Mt, dizemos que M é uma matriz simétrica.

Solução: Vamos obter a transposta de A transformando cada uma de suas linhas em colunas. Assim, teremos:

Como A = At, dizemos que A é uma matriz simétrica.

Nesse caso, apesar da matriz G ser quadrada de ordem 2, ela não é igual à sua transposta, portanto não é uma matriz simétrica.

Observação: É fácil notar que (At)t = A.

Fonte: Alunos Online
http://www.alunosonline.com.br/matematica/matriz-transposta-matriz-simetrica.html

domingo, 14 de junho de 2015

Matrizes (2.º D)

Alunos do 2.º D:

Segue a apostila para complemento do estudo de matrizes: Apostila de Matrizes .

Para prova bimestral estudar até matriz transposta.

Atenciosamente,

Professor Alexandre.

sábado, 13 de junho de 2015

Progressão Geométrica (P.G.) (1.º F)

1-Conceito: Progressão Geométrica é a seqüência de números não nulos, onde qualquer termo (a partir do segundo), é igual ao antecedente multiplicado por uma constante. Essa constante é denominada razão da progressão, sendo indicada por q.

As progressões geométricas possuem este nome graças à seguinte característica de sua formação: Tomando-se 3 termos consecutivos de uma P.G. , o termo do meio é a média geométrica dos outros dois termos.

Exemplos simples
(3, 9,27, 81, ...) → é uma P.G. Crescente de razão q = 3
(90, 30, 10, ...) → é uma P.G. Decrescente de razão q = 1/3
(-7, 14, -28, 56, ...) → é uma P.G. Oscilante de razão q = - 2
(3, 3, 3, 3, ...) → é uma P.G. Constante de razão q = 1

A razão de uma P.G. pode ser calculada pela igualdade abaixo: q = a_n / a_{n - 1} ou seja: q = a₂ / a₁ = a₃ / a₂ = a₄ / a₃ = a_n / a_n-1

2-Classificação:

Quando q > 0, a P.G. é crescente. Por exemplo: (3, 6, 12, 24, 48, ...)

q = a₂ / a₁	onde	a₁ = 3
q = 6 / 3		a₂ = 6 (a₂ = a₁ . q → a₂ = 3 . 2 → a₂ = 6)
q = 2		a₃ = 12 (a₃ = a₁ . q² → a₃ = 3 . 2² → a₃ = 3 . 4 → a₃ = 12)

Concluindo que toda P.G. crescente, partindo do segundo termo, qualquer elemento é maior que o anterior.

Quando a1 < 0 e q > 1 ou a1 > 0 e 0 < q < 1, a P.G. é decrescente. Por exemplo: (48,24,12,6,.., 3)

q = a₂ / a₁	onde	a₁ = 48
q = 24 / 48		a₂ = 24 (a₂ = a₁ . q → a₂ = 48 . 1/2 → a₂ = 24)
q = 1 / 2		a₃ = 12 (a₃ = a₁ . q² → a₃ = 48 . (1/2)² → a₃ = 48 . 1/4 → a₃ = 12)

Concluindo que toda P.G. decrescente, partindo do segundo termo, qualquer elemento é menor que o anterior.

Quando q < 0, a P.G. é Alternante ou Oscilante. Por exemplo: (- 5, 10, - 20, 40, - 80, ...)

q = a₂ / a₁	onde	a₁ = - 5
q = 10 / -5		a₂ = 10 (a₂ = a₁ . q → a₂ = - 5 . - 2 → a₂ = 10)
q = - 2		a₃ = - 20 (a₃ = a₁ . q² → a₃ = - 5 . (-2)² → a₃ = -5 . 4 → a₃ = - 20)

Concluindo que toda P.G. Alternante ou Oscilante, partindo de qualquer termo, há uma alternância sucessiva entre termo negativo e positivo.

3- Termo Geral da P.G.
Como em uma P.A. pode se achar todos os seus termos a partir de qualquer termo e da razão, em uma P.G., isso também é possível, sendo a fórmula denominada termo geral da P.G.. Veja:
a₂ / a₁ = q → a₂ = a₁ . q a₃ / a₂ = q → a₃ = a₂ . q → a₃ = a₁ . q . q → a₃ = a₁ . q²
a₄ / a₃ = q → a₄ = a₃ . q → a₄ = a₁ . q² . q → a₄ = a₁ . q³( e assim por diante)

Uma PG de razão q pode ser escrita assim:

PG( a₁, a₂, a₃, a₄, ...., a_n-1 a_n)

Aplicando a definição de PG, podemos escrevê-la de uma outra forma:

PG( a₁, a₁. q, a₁. 2q, a₁. 3q, a₁. 4q, ..., a₁.q^(n-1)

Portanto, o termo geral será:

a_n = a_1.q^n-1

Assim, concluímos que a_n = a₁ . q^{n - 1} é a fórmula que rege a demonstração acima, lembrando que, se não tivéssemos o primeiro termo da P.G., mas tivéssemos outro como o terceiro, usaríamos a seguinte fórmula:

a_n = a_k.q^n-k

Exemplo 1-- Dada a PG (2,4,8,... ), pede-se calcular o décimo termo.
Temos: a₁ = 2, q = 4/2 = 8/4 = ... = 2. Para calcular o décimo termo ou seja a₁₀, vem pela fórmula:   dados a₁= 2    q = 2    n =10      a₁₀ = ?
a_n = a₁ . q^{n – 1} =>    a₁₀ = a₁ . q^10-1 =>    a₁₀ = 2 . 2⁹ =>     a₁₀ = 2. 512 =>    a₁₀ = 1024
Exemplo 2- Sabe-se que o quarto termo de uma PG é igual a 20 e o oitavo termo é igual a 320.   Qual a razão desta PG?
Temos a₄ = 20 e a₈ = 320. Logo, podemos escrever: a₈ = a₄ . q^8-4 . Daí, vem: 320 = 20.q⁴
Então 16 = q⁴= 2⁴ e portanto q = 2.

Exemplo 3 Na PG onde a₅=1/32 e razão ¼ , calcule a₁
Dados   a₁= ?   q = ¼       n = 5      a₅=1/32
a_n = a₁ . q^{n – 1} => 1/32= a₁.(1/4)^5-1 => 1/32 = a1.(1/4)4 => 1/32 =a1.(1/256)
a1 = 1/32 : 1/256     a1 = 1/32 . 256/1 =>    a1 = 8
Exemplo 4 Quantos termos tem na PG (3,6,.....,48)
Dados   a₁= 3   q = 2       n = ?     a_n= 48
a_n = a₁ . q^{n – 1} => 48 = 3.2^(n-1) => 48/3 =2^(n-1)   16 = 2^(n-1) fatorando 16 temos 16 = 2⁴   => 2⁴ = 2^(n-1) da igualdade de expoente temos 4 = n-1    n=4+1 => n=5
Exemplo 5 Interpolar três termos geométricos entre   3 e 48
(3, ____ , ____ , ____ , 48) Dados   a₁= 3   q = ?       n = 5     a_n= 48
         a_n = a₁ . q^{n – 1} =>      48 = 3.q^(5-1)   48/3 = q⁴ => q⁴ = 16 ==> q=2

escrevendo a PG temos (3,6,12,24,48)    ou (3,-6,12,-24,48)
Por exemplo: Dada a P.G. ( x, y, 12, 24, 48, ...)    determine o seu oitavo termo (a8):
Primeiramente achamos a razão: q = a₄ / a₃q = 24 / 12     => q = 2
Agora resolvemos a   partir do terceiro termo:

a_n = a_k . q^{n - k}
a₈ = a₃ . q^{8 – 3} a₈ = 12 . 2⁵
a₈ = 12 . 32
a₈ = 384

a_n → é o último termo especificamente pedido
a_k → é o primeiro termo escolhido
k → é a posição do termo a_k
n → é a posição do termo a_n

Esta fórmula, a_n = a₁ . q ^{(n - 1)}permite que se calcule qualquer termo de uma P.G.

Atividade de Recuperação 2.º D ( Ensino Médio)

Segue o link da Atividade de Recuperação do 2.º bimestre: Atividade de Recuperação de Matemática .

Entrega: 18/06/15

Atenciosamente,

Professor Alexandre.

Atividade de Recuperação do 1.º ano F (Ensino Médio)

Segue o link da Atividade de Recuperação do 2.º bimestre:Atividade de Recuperação do 1.ºF (Ensino Médio).

Entrega: 18/06

Atenciosamente,

Professor Alexandre.