Matriz Transposta e Matriz Simétrica (2.º D)

 Matriz Transposta

Considere uma matriz A =(aij)(m x n).  A matriz transposta de A, representada por At, é uma matriz da forma At = (bji)(n x m), tal que:
bji = aij

Observe que a matriz A é de ordem m x n, enquanto At é de ordem n x m. Essa “inversão” das ordens das duas matrizes se deve ao fato de que para obter a transposta de A devemos “transformar” cada uma de suas linhas em colunas. De forma simples, é isso o que diz a definição de transposta de uma matriz.

Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1. Determine a matriz transposta de cada uma das seguintes matrizes.



Solução: Para obter a transposta de A, basta “transformar” cada uma de suas linhas em colunas. Assim, teremos:



Solução: “Transformando” linha em coluna, obtemos:



Solução: Nesse caso, teremos:



Solução: “Transformando” as linhas em coluna, obtemos:

Matriz Simétrica

Dizemos que uma matriz quadrada A de ordem n é simétrica quando ela for igual à sua transposta. Ou seja, A é denominada simétrica se:

A = At

Observe que somente matrizes quadradas podem ser simétricas.

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 2. Determine a transposta de cada matriz a seguir:


Solução: A transposta de M será obtida “transformando” cada linha de M em coluna. Assim, teremos:



Como M = Mt, dizemos que M é uma matriz simétrica.



Solução: Vamos obter a transposta de A transformando cada uma de suas linhas em colunas. Assim, teremos:



Como A = At, dizemos que A é uma matriz simétrica.



Nesse caso, apesar da matriz G ser quadrada de ordem 2, ela não é igual à sua transposta, portanto não é uma matriz simétrica.

Observação: É fácil notar que (At)t = A.


Fonte: Alunos Online
http://www.alunosonline.com.br/matematica/matriz-transposta-matriz-simetrica.html