Progressão Geométrica (P.G.) (1.º F)

1-Conceito: Progressão Geométrica é a seqüência de números não nulos, onde qualquer termo (a partir do segundo), é igual ao antecedente multiplicado por uma constante. Essa constante é denominada razão da progressão, sendo indicada por q.

As progressões geométricas possuem este nome graças à seguinte característica de sua formação: Tomando-se 3 termos consecutivos de uma P.G. , o termo do meio é a média geométrica dos outros dois termos.

Exemplos simples
(3, 9,27, 81, ...) → é uma P.G. Crescente de razão q = 3
(90, 30, 10, ...) → é uma P.G. Decrescente de razão q = 1/3
(-7, 14, -28, 56, ...) → é uma P.G. Oscilante de razão q = - 2
(3, 3, 3, 3, ...) → é uma P.G. Constante de razão q = 1

 A razão de uma P.G. pode ser calculada pela igualdade abaixo: q = a_n / a_{n - 1}  ou seja:  q = a₂ / a₁ = a₃ / a₂ = a₄ / a₃ = a_n / a_n-1

 2-Classificação:
Quando q > 0, a P.G. é crescente. Por exemplo:   (3, 6, 12, 24, 48, ...)

q = a2 / a1	onde	a1 = 3
q = 6 / 3		a2 = 6 (a2 = a1 . q → a2 = 3 . 2 → a2 = 6)
q = 2		a3 = 12 (a3 = a1 . q2 → a3 = 3 . 22 → a3 = 3 . 4 → a3 = 12)

Concluindo que toda P.G. crescente, partindo do segundo termo, qualquer elemento é maior que o anterior.
 Quando a1 < 0 e q > 1 ou a1 > 0 e 0 < q < 1, a P.G. é decrescente. Por exemplo: (48,24,12,6,.., 3)

q = a2 / a1	onde	a1 = 48
q = 24 / 48		a2 = 24 (a2 = a1 . q → a2 = 48 . 1/2 → a2 = 24)
q = 1 / 2		a3 = 12 (a3 = a1 . q2 → a3 = 48 . (1/2)2 → a3 = 48 . 1/4 → a3 = 12)

Concluindo que toda P.G. decrescente, partindo do segundo termo, qualquer elemento é menor que o anterior.



 Quando q < 0, a P.G. é Alternante ou Oscilante. Por exemplo: (- 5, 10, - 20, 40, - 80, ...)

q = a2 / a1	onde	a1 = - 5
q = 10 / -5		a2 = 10 (a2 = a1 . q → a2 = - 5 . - 2 → a2 = 10)
q = - 2		a3 = - 20 (a3 = a1 . q2 → a3 = - 5 . (-2)2 → a3 = -5 . 4 → a3 = - 20)

Concluindo que toda P.G. Alternante ou Oscilante, partindo de qualquer termo, há uma alternância sucessiva entre termo negativo e positivo.

                                               3-  Termo Geral da P.G.
Como em uma P.A. pode se achar todos os seus termos a partir de qualquer termo e da razão, em uma P.G., isso também é possível, sendo a fórmula denominada termo geral da P.G.. Veja:
a₂ / a₁ = q → a₂ = a₁ . q       a₃ / a₂ = q → a₃ = a₂ . q → a₃ = a₁ . q . q → a₃ = a₁ . q²
a₄ / a₃ = q → a₄ = a₃ . q → a₄ = a₁ . q² . q → a₄ = a₁ . q³      ( e assim por diante)

Uma PG de razão q pode ser escrita assim:

PG( a₁, a₂, a₃, a₄, ...., a_n-1 a_n)

Aplicando a definição de PG, podemos escrevê-la de uma outra forma:

PG( a₁, a₁. q, a₁. 2q, a₁. 3q, a₁. 4q, ..., a₁.q^(n-1)  

Portanto, o termo geral será:

                                               a_n = a_1. q^n-1

 
Assim, concluímos que a_n = a₁ . q^{n - 1} é a fórmula que rege a demonstração acima, lembrando que, se não tivéssemos o primeiro termo da P.G., mas tivéssemos outro como o terceiro, usaríamos a seguinte fórmula:   

                                         a_n = a_k. q^n-k

Exemplo 1-- Dada a PG (2,4,8,... ), pede-se calcular o décimo termo.
Temos: a₁ = 2, q = 4/2 = 8/4 = ... = 2. Para calcular o décimo termo ou seja a₁₀, vem pela fórmula:   dados  a₁= 2    q = 2    n =10      a₁₀ = ?
a_n = a₁ . q^{n – 1}  =>    a₁₀ = a₁ . q^10-1 =>    a₁₀ =  2 . 2⁹ =>     a₁₀ = 2. 512 =>    a₁₀ = 1024
Exemplo 2- Sabe-se que o quarto termo de uma PG é igual a 20 e o oitavo termo é igual a 320.   Qual a razão desta PG?
Temos a₄ = 20 e a₈ = 320. Logo, podemos escrever: a₈ = a₄ . q^8-4 . Daí, vem: 320 = 20.q⁴
Então 16 = q⁴  = 2⁴ e portanto q = 2.


Exemplo 3 Na PG onde a₅=1/32 e razão ¼ , calcule a₁
Dados   a₁= ?   q = ¼       n = 5      a₅=1/32
a_n = a₁ . q^{n – 1}  =>  1/32= a₁.(1/4)^5-1 =>  1/32 = a1.(1/4)4  =>  1/32 =a1.(1/256)
a1 = 1/32 : 1/256     a1 = 1/32 . 256/1 =>    a1 = 8
Exemplo 4 Quantos termos tem na PG  (3,6,.....,48)
Dados   a₁= 3   q = 2       n = ?     a_n= 48
a_n = a₁ . q^{n – 1}  =>  48 = 3.2^(n-1)  =>  48/3 =2^(n-1)   16 = 2^(n-1) fatorando 16 temos 16 = 2⁴   =>  2⁴ = 2^(n-1) da igualdade de expoente temos  4 = n-1    n=4+1  => n=5
Exemplo 5  Interpolar três termos geométricos entre   3  e 48
(3, ____ , ____ , ____ , 48)  Dados   a₁= 3   q = ?       n = 5     a_n= 48
         a_n = a₁ . q^{n – 1}  =>       48 = 3.q^(5-1)   48/3 = q⁴ =>  q⁴  = 16 ==> q=2

escrevendo a PG  temos  (3,6,12,24,48)    ou (3,-6,12,-24,48)
Por exemplo:  Dada a P.G. ( x, y, 12, 24, 48, ...)    determine o seu oitavo termo (a8):
Primeiramente achamos a razão: q = a₄ / a₃      q = 24 / 12     => q = 2
Agora resolvemos a   partir do terceiro termo:

an = ak . qn - k a8 = a3 . q8 – 3 a8 = 12 . 25 a8 = 12 . 32 a8 = 384

an → é o último termo especificamente pedido ak → é o primeiro termo escolhido k → é a posição do termo ak n → é a posição do termo an

Esta fórmula, a_n = a₁ . q ^{(n - 1)} permite que se calcule qualquer termo de uma P.G.