Equação do 2.º grau completa resolvida com a fórmula geral

Uma equação é uma expressão matemática que possui em sua composição incógnitas, coeficientes, expoentes e um sinal de igualdade. As equações são caracterizadas de acordo com o maior expoente de uma das incógnitas. Veja:

2x + 1 = 0, o expoente da incógnita x é igual a 1. Dessa forma, essa equação é classificada como do 1º grau.

2x² + 2x + 6 = 0, temos duas incógnitas x nessa equação, em que uma delas possui o maior expoente, determinado por 2. Essa equação é classificada como do 2º grau.

x³ – x² + 2x – 4 = 0, nesse caso temos três incógnitas x, em que o maior expoente igual a 3 determina que a equação é classificada como do 3º grau.

Cada modelo de equação possui uma forma de resolução. Trabalharemos a forma de resolução de uma equação do 2º grau, utilizando a fórmula geral. Determinar a solução de uma equação é o mesmo que descobrir suas raízes, isto é, o valor ou os valores que satisfazem a equação. Por exemplo, as raízes da equação do 2º grau x² – 10x + 24 = 0 são x = 4 ou x = 6, pois:

Substituindo x = 4 na equação, temos:

x² – 10x + 24 = 0

4² – 10 . 4 + 24 = 0

16 – 40 + 24 = 0

–24 + 24 = 0

0 = 0 (verdadeiro)

Substituindo x = 6 na equação, temos:

x² – 10x + 24 = 0

6² – 10 . 6 + 24 = 0

36 – 60 + 24 = 0

– 24 + 24 = 0

0 = 0 (verdadeiro)

Podemos verificar que os dois valores satisfazem a equação. Mas como determinarmos os valores que tornam a equação uma sentença verdadeira? É sobre essa forma de determinar os valores desconhecidos que abordaremos a seguir.

Vamos determinar pela fórmula geral, os valores da seguinte equação do 2º grau: x² – 2x – 3 = 0.

Uma equação do 2º grau possui a seguinte lei de formação ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são os coeficientes da equação. Portanto, os coeficientes da equação x² – 2x – 3 = 0 são a = 1, b = –2 e         c = –3.

Na fórmula, utilizaremos somente os coeficientes. Veja:

1º passo: determinar o valor do discriminante ou delta:

∆ = b² – 4 . a . c

∆ = (–2)² – 4 . 1 . (–3)

∆ = 4 + 12

∆ = 16

2º passo : Substituir os valores de a,b,c e Δ na fórmula  x= (-b±√Δ) /2.a

x=  (-b±√Δ) /2.a

x= -(-2)± √16/ 2.1

x= (2 ± 4) / 2   

x’ = 6 / 2

x’= 3

x’’= -2/2 

x’’= -1

Os resultados são x’ = 3 e x” = –1.

S= {x ∈ ℜ | x'= 3 ou x''= -1}

Exemplo 2

Determinar a solução da seguinte equação do 2º grau: x² + 8x + 16 = 0.

Os coeficientes são:

a = 1

b = 8

c = 16

∆ = b² – 4 . a . c

∆ = 8² – 4 . 1 . 16

∆ = 64 – 64

∆ = 0

x= (-b±√Δ) /2.a  

x= (-8 ±√0)/ 2. 1

x= (-8 ± 0 )/ 2

x’=  -8 / 2

x’ = -4

x’’= -8 / 2

x’’ = -4

No exemplo 2 devemos observar que o valor do discriminante é igual a zero. Nesses casos, a equação possuirá somente uma solução ou raiz única.

O resultado é x = -4.

S= {x ∈ ℜ | x = -4} 

Exemplo 3

Calcule o conjunto solução da equação 10x² + 6x + 10 = 0, considerada de 2º grau.

∆ = b² – 4 . a . c

∆ = 6² – 4 . 10 . 10

∆ = 36 – 400

∆ = –364

Nas resoluções em que o valor do discriminante é menor que zero, isto é, o número seja negativo, a equação não possui raízes reais.

Neste caso não precisamos fazer o 2.º passo que é resolver a fórmula geral x= (-b±√Δ) /2.a.

Após a leitura, sugiro assistir o vídeo Esse tal de Bhaskara .