Capítulo 01. Introdução à Geometria Analítica
1. Localização
1.1. A Localização Unidimensional
Para determinarmos a posição de uma composição na via férrea, basta a indicação do número do marco de quilometragem. Este número é a coordenada do trem na via férrea. Com o exemplo, podemos perceber que, para localizarmos um “ponto” em uma “linha”, é suficiente uma medida, isto é, na localização unidimensional, as posições são indicadas por uma única coordenada.
No jogo de xadrez, a posição das peças no tabuleiro fica indicada por uma letra e um número (podiam ser duas letras ou dois números). As filas verticais são identificadas por letras do alfabeto latino e as filas horizontais, por números.
A cada casa do tabuleiro correspondem uma letra e um número que indicam as filas vertical e horizontal da casa, respectivamente.
Assim, o peão branco, representado no tabuleiro da figura, está na casa B3, e o peão preto, na casa D5.
Com o exemplo, podemos perceber que, para localizar um “ponto” em um “plano”, são necessárias duas medidas, isto é, na localização bidimensional, as posições são indicadas por um par de coordenadas.
2. Eixo
Consideremos ume reta r e uma unidade (u) de comprimento com a qual mediremos os segmentos contidos em r.
Consideremos também na reta r um ponto O arbitrário, que chamaremos de origem.
Sejam A e A’ dois pontos de r tais que e tenham a mesma medida a, tomada com a unidade u, de modo que A esteja à direita de O e A’ à esquerda de O.
Desta forma, dizemos que o
ponto A está afastado a unidades de O e que A’ está afastado – a unidades
de O.
Podemos então associar aos
pontos A e A’ os números reais a e – a, respectivamente, que chamaremos
de abscissas desses pontos.
De um modo geral, podemos
associar a cada ponto de r um único número real que chamamos abscissa do ponto, número esse que será positivo para
pontos marcados a partir da origem, no sentido positivo, e negativo para pontos
mercados no sentido contrário.
Exemplos:
abscissa de P = – 4
Então, quando quisermos localizar pontos em uma reta, transformamos a reta em um eixo e a localização do ponto será dada pela abscissa do
ponto.
Importante
1.º) A abscissa de origem é o número real zero.
2.º) Cada ponto de uma eixo possui uma única abscissa
e para cada abscissa existe um único ponto no eixo, isto é, estabelecemos uma relação
biunívoca entre o conjunto dos números reais e o conjunto de pontos de uma reta (eixo).
3. O Sistema Cartesiano
Consideremos em um plano dois eixos X e Y perpendiculares entre si e com origem O comum. Nestas condições, dizemos que X e Y formam um sistema cartesiano ortogonal, e o plano dotado com tal sistema será chamado de plano cartesiano.
Para localizarmos um ponto P num plano dotado de um sistema cartesiano ortogonal, traçamos por P duas retas paralelas aos eixos x e y que encontram os mesmos em P’ e P’’, respectivamente.
Com as abscissas desses pontos determinamos a posição de P no plano.
Indicamos a abscissa de P’ por xp e a abscissa de P’’ por yp, e o ponto P é localizado no plano pelo par ordenado (xp, yp).
Para facilidade de linguagem, usamos as seguintes denominações:
1.º) A abscissa de P’, a primeira abscissa de P, será simplesmente a abscissa de P.
2.º) A abscissa de P’’, a segunda abscissa de P, será a abscissa ordenada de P, ou simplesmente ordenada de P.
3.º) O par ordenado (xp, yp) será denominado coordenadas de p.
4.º) Os eixos x e y serão, respectivamente, o eixo das abscissas e o eixo das ordenadas.
Exemplo
B (4, 3) E (– 4, 0) H (4, – 3)
C (0 3) F (– 4, – 3) O (0, 0)
Os eixos x e y dividem o plano cartesiano em quatro regiões que chamamos quadrantes (Q), que são numerados conforme a figura abaixo:
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