Função Afim no Excel

Prezados Alunos,

Segue um exemplo de como fazer um gráfico no Excel. Este exemplo é uma função Afim. Baixar neste link  Função Afim no Excel .

Geogebra (Fazer gráficos)

Prezados alunos,

Segue abaixo o link de um software para fazer gráfico. Somente digitar a função no campo entrada que fica localizado na parte de baixo do software.


Exemplos:

F(x) = 2x   ==>   Digitamos no campo entrada      y=2*x
F(x) = 4x-2  ==>   Digitamos no campo entrada   y=4*x-2
F(x) = x² -6x + 4  ==>  Digitamos no campo entrada  y=x^2-6*x+4

Link para baixar o Geogebra .

Função Linear no Excel

Prezados Alunos,

Segue um exemplo de como fazer um gráfico no Excel. Este exemplo é uma função linear. Baixar neste link  Função Linear no Excel .

Inscrições ETEC

Inscrições

Processo Seletivo Vestibulinho 1º SEM/16

De 06/10 até às 15h do dia 10/11/15

Atenção para os documentos necessários:
CPF do candidato (obrigatório)
Documento de identidade do candidato (RG, RNE, CNH ou documento expedido por Ordem ou Conselho Profissional)

Inscrições pelo site: http://www.vestibulinhoetec.com.br/

Calendário

• De 06/10 até às 15h do dia 10/11/15
  Inscrições do Processo Seletivo
• 08/12/15
  Divulgação dos locais de Exame
• 13/12/15 (domingo), às 13h30min
  

Virada Científica na USP

Ao público interessado em ciência em geral e matemática e particular.

No dia 17 de outubro próximo (sábado), haverá a Virada Científica na USP, com muitos eventos interessantes. O Instituto de Matemática e Estatística vai participar oferecendo mini-palestras, oficinas, shows e exposição da MATEMATECA.

Reserve a data e faça propaganda com alunos, colegas, amigos e familiares!

Daqui a alguns dias, vamos enviar os horários das atividades.

Esperamos vocês na USP!

Prof. Dr. Eduardo Colli
Presidente
Comissão de Cultura e Extensão Universitária 

IME / USP

Desenho no Plano Cartesiano ( Atividade para 8.º séries)

Caros Alunos,

Segue alguns desenhos no plano cartesiano. Plote os pontos e descobrirá o desenho.

Click no link https://docs.google.com/file/d/0B7DeV8K6VL-uVjFnTjlwYVlKTzQ/edit?pli=1 para baixar e depois imprima as folhas com o plano cartesiano e os pontos.

Papel Milimetrado (8.º séries)

Caros Alunos,

Segue abaixo o link do papel milimetrado para download.
Papel Milimetrado .

Grato,

Professor Alexandre.

Matriz Transposta e Matriz Simétrica (2.º D)

 Matriz Transposta

Considere uma matriz A =(aij)(m x n).  A matriz transposta de A, representada por At, é uma matriz da forma At = (bji)(n x m), tal que:
bji = aij

Observe que a matriz A é de ordem m x n, enquanto At é de ordem n x m. Essa “inversão” das ordens das duas matrizes se deve ao fato de que para obter a transposta de A devemos “transformar” cada uma de suas linhas em colunas. De forma simples, é isso o que diz a definição de transposta de uma matriz.

Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1. Determine a matriz transposta de cada uma das seguintes matrizes.



Solução: Para obter a transposta de A, basta “transformar” cada uma de suas linhas em colunas. Assim, teremos:



Solução: “Transformando” linha em coluna, obtemos:



Solução: Nesse caso, teremos:



Solução: “Transformando” as linhas em coluna, obtemos:

Matriz Simétrica

Dizemos que uma matriz quadrada A de ordem n é simétrica quando ela for igual à sua transposta. Ou seja, A é denominada simétrica se:

A = At

Observe que somente matrizes quadradas podem ser simétricas.

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 2. Determine a transposta de cada matriz a seguir:


Solução: A transposta de M será obtida “transformando” cada linha de M em coluna. Assim, teremos:



Como M = Mt, dizemos que M é uma matriz simétrica.



Solução: Vamos obter a transposta de A transformando cada uma de suas linhas em colunas. Assim, teremos:



Como A = At, dizemos que A é uma matriz simétrica.



Nesse caso, apesar da matriz G ser quadrada de ordem 2, ela não é igual à sua transposta, portanto não é uma matriz simétrica.

Observação: É fácil notar que (At)t = A.


Fonte: Alunos Online
http://www.alunosonline.com.br/matematica/matriz-transposta-matriz-simetrica.html

Matrizes (2.º D)

Alunos do 2.º D:

Segue a apostila para complemento do estudo de matrizes: Apostila de Matrizes .

Para prova bimestral estudar até matriz transposta.

Atenciosamente,

Professor Alexandre.

Progressão Geométrica (P.G.) (1.º F)

1-Conceito: Progressão Geométrica é a seqüência de números não nulos, onde qualquer termo (a partir do segundo), é igual ao antecedente multiplicado por uma constante. Essa constante é denominada razão da progressão, sendo indicada por q.

As progressões geométricas possuem este nome graças à seguinte característica de sua formação: Tomando-se 3 termos consecutivos de uma P.G. , o termo do meio é a média geométrica dos outros dois termos.

Exemplos simples
(3, 9,27, 81, ...) → é uma P.G. Crescente de razão q = 3
(90, 30, 10, ...) → é uma P.G. Decrescente de razão q = 1/3
(-7, 14, -28, 56, ...) → é uma P.G. Oscilante de razão q = - 2
(3, 3, 3, 3, ...) → é uma P.G. Constante de razão q = 1

 A razão de uma P.G. pode ser calculada pela igualdade abaixo: q = a_n / a_{n - 1}  ou seja:  q = a₂ / a₁ = a₃ / a₂ = a₄ / a₃ = a_n / a_n-1

 2-Classificação:
Quando q > 0, a P.G. é crescente. Por exemplo:   (3, 6, 12, 24, 48, ...)

q = a2 / a1	onde	a1 = 3
q = 6 / 3		a2 = 6 (a2 = a1 . q → a2 = 3 . 2 → a2 = 6)
q = 2		a3 = 12 (a3 = a1 . q2 → a3 = 3 . 22 → a3 = 3 . 4 → a3 = 12)

Concluindo que toda P.G. crescente, partindo do segundo termo, qualquer elemento é maior que o anterior.
 Quando a1 < 0 e q > 1 ou a1 > 0 e 0 < q < 1, a P.G. é decrescente. Por exemplo: (48,24,12,6,.., 3)

q = a2 / a1	onde	a1 = 48
q = 24 / 48		a2 = 24 (a2 = a1 . q → a2 = 48 . 1/2 → a2 = 24)
q = 1 / 2		a3 = 12 (a3 = a1 . q2 → a3 = 48 . (1/2)2 → a3 = 48 . 1/4 → a3 = 12)

Concluindo que toda P.G. decrescente, partindo do segundo termo, qualquer elemento é menor que o anterior.



 Quando q < 0, a P.G. é Alternante ou Oscilante. Por exemplo: (- 5, 10, - 20, 40, - 80, ...)

q = a2 / a1	onde	a1 = - 5
q = 10 / -5		a2 = 10 (a2 = a1 . q → a2 = - 5 . - 2 → a2 = 10)
q = - 2		a3 = - 20 (a3 = a1 . q2 → a3 = - 5 . (-2)2 → a3 = -5 . 4 → a3 = - 20)

Concluindo que toda P.G. Alternante ou Oscilante, partindo de qualquer termo, há uma alternância sucessiva entre termo negativo e positivo.

                                               3-  Termo Geral da P.G.
Como em uma P.A. pode se achar todos os seus termos a partir de qualquer termo e da razão, em uma P.G., isso também é possível, sendo a fórmula denominada termo geral da P.G.. Veja:
a₂ / a₁ = q → a₂ = a₁ . q       a₃ / a₂ = q → a₃ = a₂ . q → a₃ = a₁ . q . q → a₃ = a₁ . q²
a₄ / a₃ = q → a₄ = a₃ . q → a₄ = a₁ . q² . q → a₄ = a₁ . q³      ( e assim por diante)

Uma PG de razão q pode ser escrita assim:

PG( a₁, a₂, a₃, a₄, ...., a_n-1 a_n)

Aplicando a definição de PG, podemos escrevê-la de uma outra forma:

PG( a₁, a₁. q, a₁. 2q, a₁. 3q, a₁. 4q, ..., a₁.q^(n-1)  

Portanto, o termo geral será:

                                               a_n = a_1. q^n-1

 
Assim, concluímos que a_n = a₁ . q^{n - 1} é a fórmula que rege a demonstração acima, lembrando que, se não tivéssemos o primeiro termo da P.G., mas tivéssemos outro como o terceiro, usaríamos a seguinte fórmula:   

                                         a_n = a_k. q^n-k

Exemplo 1-- Dada a PG (2,4,8,... ), pede-se calcular o décimo termo.
Temos: a₁ = 2, q = 4/2 = 8/4 = ... = 2. Para calcular o décimo termo ou seja a₁₀, vem pela fórmula:   dados  a₁= 2    q = 2    n =10      a₁₀ = ?
a_n = a₁ . q^{n – 1}  =>    a₁₀ = a₁ . q^10-1 =>    a₁₀ =  2 . 2⁹ =>     a₁₀ = 2. 512 =>    a₁₀ = 1024
Exemplo 2- Sabe-se que o quarto termo de uma PG é igual a 20 e o oitavo termo é igual a 320.   Qual a razão desta PG?
Temos a₄ = 20 e a₈ = 320. Logo, podemos escrever: a₈ = a₄ . q^8-4 . Daí, vem: 320 = 20.q⁴
Então 16 = q⁴  = 2⁴ e portanto q = 2.


Exemplo 3 Na PG onde a₅=1/32 e razão ¼ , calcule a₁
Dados   a₁= ?   q = ¼       n = 5      a₅=1/32
a_n = a₁ . q^{n – 1}  =>  1/32= a₁.(1/4)^5-1 =>  1/32 = a1.(1/4)4  =>  1/32 =a1.(1/256)
a1 = 1/32 : 1/256     a1 = 1/32 . 256/1 =>    a1 = 8
Exemplo 4 Quantos termos tem na PG  (3,6,.....,48)
Dados   a₁= 3   q = 2       n = ?     a_n= 48
a_n = a₁ . q^{n – 1}  =>  48 = 3.2^(n-1)  =>  48/3 =2^(n-1)   16 = 2^(n-1) fatorando 16 temos 16 = 2⁴   =>  2⁴ = 2^(n-1) da igualdade de expoente temos  4 = n-1    n=4+1  => n=5
Exemplo 5  Interpolar três termos geométricos entre   3  e 48
(3, ____ , ____ , ____ , 48)  Dados   a₁= 3   q = ?       n = 5     a_n= 48
         a_n = a₁ . q^{n – 1}  =>       48 = 3.q^(5-1)   48/3 = q⁴ =>  q⁴  = 16 ==> q=2

escrevendo a PG  temos  (3,6,12,24,48)    ou (3,-6,12,-24,48)
Por exemplo:  Dada a P.G. ( x, y, 12, 24, 48, ...)    determine o seu oitavo termo (a8):
Primeiramente achamos a razão: q = a₄ / a₃      q = 24 / 12     => q = 2
Agora resolvemos a   partir do terceiro termo:

an = ak . qn - k a8 = a3 . q8 – 3 a8 = 12 . 25 a8 = 12 . 32 a8 = 384

an → é o último termo especificamente pedido ak → é o primeiro termo escolhido k → é a posição do termo ak n → é a posição do termo an

Esta fórmula, a_n = a₁ . q ^{(n - 1)} permite que se calcule qualquer termo de uma P.G.

Atividade de Recuperação 2.º D ( Ensino Médio)

Segue o link da Atividade de Recuperação do 2.º bimestre: Atividade de Recuperação de Matemática .

Entrega: 18/06/15

Atenciosamente,

Professor Alexandre.

Atividade de Recuperação do 1.º ano F (Ensino Médio)

Segue o link da Atividade de Recuperação do 2.º bimestre:Atividade de Recuperação do 1.ºF (Ensino Médio).

Entrega: 18/06

Atenciosamente,

Professor Alexandre.

Equação do 2.º grau completa resolvida com a fórmula geral

Uma equação é uma expressão matemática que possui em sua composição incógnitas, coeficientes, expoentes e um sinal de igualdade. As equações são caracterizadas de acordo com o maior expoente de uma das incógnitas. Veja:

2x + 1 = 0, o expoente da incógnita x é igual a 1. Dessa forma, essa equação é classificada como do 1º grau.

2x² + 2x + 6 = 0, temos duas incógnitas x nessa equação, em que uma delas possui o maior expoente, determinado por 2. Essa equação é classificada como do 2º grau.

x³ – x² + 2x – 4 = 0, nesse caso temos três incógnitas x, em que o maior expoente igual a 3 determina que a equação é classificada como do 3º grau.

Cada modelo de equação possui uma forma de resolução. Trabalharemos a forma de resolução de uma equação do 2º grau, utilizando a fórmula geral. Determinar a solução de uma equação é o mesmo que descobrir suas raízes, isto é, o valor ou os valores que satisfazem a equação. Por exemplo, as raízes da equação do 2º grau x² – 10x + 24 = 0 são x = 4 ou x = 6, pois:

Substituindo x = 4 na equação, temos:

x² – 10x + 24 = 0

4² – 10 . 4 + 24 = 0

16 – 40 + 24 = 0

–24 + 24 = 0

0 = 0 (verdadeiro)

Substituindo x = 6 na equação, temos:

x² – 10x + 24 = 0

6² – 10 . 6 + 24 = 0

36 – 60 + 24 = 0

– 24 + 24 = 0

0 = 0 (verdadeiro)

Podemos verificar que os dois valores satisfazem a equação. Mas como determinarmos os valores que tornam a equação uma sentença verdadeira? É sobre essa forma de determinar os valores desconhecidos que abordaremos a seguir.

Vamos determinar pela fórmula geral, os valores da seguinte equação do 2º grau: x² – 2x – 3 = 0.

Uma equação do 2º grau possui a seguinte lei de formação ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são os coeficientes da equação. Portanto, os coeficientes da equação x² – 2x – 3 = 0 são a = 1, b = –2 e         c = –3.

Na fórmula, utilizaremos somente os coeficientes. Veja:

1º passo: determinar o valor do discriminante ou delta:

∆ = b² – 4 . a . c

∆ = (–2)² – 4 . 1 . (–3)

∆ = 4 + 12

∆ = 16

2º passo : Substituir os valores de a,b,c e Δ na fórmula  x= (-b±√Δ) /2.a

x=  (-b±√Δ) /2.a

x= -(-2)± √16/ 2.1

x= (2 ± 4) / 2   

x’ = 6 / 2

x’= 3

x’’= -2/2 

x’’= -1

Os resultados são x’ = 3 e x” = –1.

S= {x ∈ ℜ | x'= 3 ou x''= -1}

Exemplo 2

Determinar a solução da seguinte equação do 2º grau: x² + 8x + 16 = 0.

Os coeficientes são:

a = 1

b = 8

c = 16

∆ = b² – 4 . a . c

∆ = 8² – 4 . 1 . 16

∆ = 64 – 64

∆ = 0

x= (-b±√Δ) /2.a  

x= (-8 ±√0)/ 2. 1

x= (-8 ± 0 )/ 2

x’=  -8 / 2

x’ = -4

x’’= -8 / 2

x’’ = -4

No exemplo 2 devemos observar que o valor do discriminante é igual a zero. Nesses casos, a equação possuirá somente uma solução ou raiz única.

O resultado é x = -4.

S= {x ∈ ℜ | x = -4} 

Exemplo 3

Calcule o conjunto solução da equação 10x² + 6x + 10 = 0, considerada de 2º grau.

∆ = b² – 4 . a . c

∆ = 6² – 4 . 10 . 10

∆ = 36 – 400

∆ = –364

Nas resoluções em que o valor do discriminante é menor que zero, isto é, o número seja negativo, a equação não possui raízes reais.

Neste caso não precisamos fazer o 2.º passo que é resolver a fórmula geral x= (-b±√Δ) /2.a.

Após a leitura, sugiro assistir o vídeo Esse tal de Bhaskara .

Equação do 2.º grau incompleta

Equação do 2.º grau incompleta

As equações do 2.º grau são consideradas incompletas, quando “b” e “c” são iguais a zero. Quando o “a” for igual a zero não é uma equação de 2.º grau e sim de 1.º grau.

Uma equação de 2.º grau é definida pela sua forma genérica ±ax² ± bx ± c =0. Sendo que o sinal pode ser tanto + quanto -.

Primeiramente vamos aprender resolver a equação ax² + c =0, portanto quando b =0.

Exemplos:

1)      x² - 25 =0

x² = 25

x=±√25

x= ± 5

S= { x ∈ ℜ | x= 5 ou x = -5}

2)     2x² - 128 =0

2x² = 128

x² = 128/2

x² = 64

x= ± √64

x= ± 8

S= { x ∈ ℜ | x= 8 ou x=-8}

3)     2x² -450 = 0

2x² = 450

x² = 450/2

x² = 225

x= ± √225

x=  ± 15

S= {x ∈ ℜ| x= 15 ou x=-15}

4)     x² + 36 = 0

x² = -36

x= ±√ -36

Não existe solução para os números reais, pois a raiz quadrada de um número negativo é um número complexo que será estudado no ensino médio.

S= {x ∉ ℜ} , S= { }  ou S= ∅.

Resolvendo equação ax² + bx =0

5)     x² -5x =0

x.(x-5)=0 è Colocando em evidência o “x”.

x=0

x-5=0

x= 5

S= {x ∈ ℜ | x= 0 ou x=5 }

6)     5x² - 6x = 0

x.(5x -6)=0 è Colocando em evidência o “x”.

x=0

5x-6=0

5x= 6

x= 5/6

S= {x ∈ ℜ| x= 0 ou x= 5/6}

7)      -x² + 7x =0

x.(-x+7) = 0 è Colocando em evidência o “x”.

x=0

-x+7 = 0

-x= -7 .(-1)

x= 7

S= {x ∈ ℜ | x= 0  ou x= 7}

8)     –x² - x =0

x. (-x -1)= 0   è Colocando em evidência o “x”

x=0

-x-1=0

-x = 1 .(-1)

x= -1

S= {x ∈ ℜ | x= 0 ou x = -1}

Atividade de Recuperação de Matemática (7.º série / 8.º ano)

Segue o link da Atividade de Recuperação do 2.º bimestre: Atividade de Recuperação de Matemática (2.º Bimestre) .

Atividade de Recuperação do 2.º Bimestre (8.º série / 9.º ano)

Segue o link da Atividade de Recuperação do 2.º bimestre: Atividade de Recuperação de Matemática (2.º Bimestre) .

Atividades para 8.série A,B e C

Segue o link para impressão: Exercícios de Sistemas de Equações.

Data de Entrega dia 23/02. Individual. Valendo 20% da média.


Média do 1.º Bimestre:  Caderno              ==>  20%
                                       Prova Mensal     ==>   20%
                                       Prova Bimestral ==>   30%
                                       Disciplina           ==>   10%
                                       Atividades          ==>   20%


Grato,

Professor Alexandre.

Ano Letivo: 2015

Sejam bem-vindos, espero que possamos aprender muito neste ano.